Question

Число 7 возвели в седьмую степень.Полученное число снова возвели в седьмую степень и так далее.Возведение в степень повторили 2022 раза.Определите,какой цифрой заканчивается полученное число.(С объяснением)

Answer 1

Ответ: $7$

Пошаговое объяснение:

Заметим, что степени цифр $3$ и $7$ имеют одинаковый период повторений оканчивающихся цифр, причем третья цифра в периоде каждой из данных цифр равна другой цифре из данной пары и длины периодов повторений для каждой из цифр равны $4$. Покажем это (для удобства будем применять обозначение: $|a$ - оканчивается на ту же самую цифру, что и число  $a$, если $0 < =a < =9$, то данное число оканчивается на цифру $a$).

Рассмотрим периоды повторений последних цифр степеней числа $3$.

$3^1 |3\\3^2|3*3|9\\3^3|9*3|7\\3^4|7*3|1\\3^5|1*3|3$

Период повторений для последних цифр степеней числа $3$:

$3,9,7,1$, длина периода равна $4$, а третья цифра в периоде равна $7$.

Рассмотрим периоды повторений последних цифр степеней числа $7$.

$7^1|7\\7^2|7*7|9\\7^3|9*7|3\\7^4|3*7|1\\7^5|1*7|7$

Период повторений для последних цифр степеней числа $7$:

$7,9,3,1$, длина периода равна $4$, а третья цифра в периоде равна $3$.

Как видим, все сказанное в начале абсолютно верно.

Также стоит заметить, что остаток от деления числа $7$ на $4$ (длину периода) равен $3$, поэтому:

$7^7|3\\3^7|7$

То есть после каждой операции возведения в седьмую степень идет такое чередование.

Поскольку число $2022$ является четным, то последняя цифра определяется операцией $3^7|7$, то есть после $2022$-го возведения в седьмую степень полученное число будет оканчиваться на цифру $7$.