Question

Имеется лист бумаги. Его разрезали на 8 или на 12 частей. Каждую из частей, которую получают после разрезания листа, снова разрезают на 8 или на 12 частей или оставляют без изменения. Можно ли, продолжая такое разрезание, получить 60 частей листа?

Answer 1

Разберем, что значит разрезать лист или некую его часть на 8 частей. Это означает, что будет убрана 1 эта часть и будет добавлено 8 новых частей. Таким образом, общее число частей увеличится на 7.

Аналогично, разрезать лист или некую его часть на 12 частей означает, что общее число частей увеличится на 11.

Изначально, у нас есть 1 лист. Предполагается, что в конце концов мы получим 60 частей.

Составим уравнение:

$1+7a+11b=60$

В данном случае $a$ и $b$ - целые неотрицательные числа, соответствующие числу раз, которое мы разрезали листы на 8 и на 12 частей.

$7a+11b=59$

Попробуем найти решение.

Если $b=0$, то:

$7a=59\Rightarrow a=\dfrac{59}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=1$, то:

$7a+11=59\Rightarrow7a=48\Rightarrow a=\dfrac{48}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=2$, то:

$7a+22=59\Rightarrow7a=37\Rightarrow a=\dfrac{37}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=3$, то:

$7a+33=59\Rightarrow7a=26\Rightarrow a=\dfrac{26}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=4$, то:

$7a+44=59\Rightarrow7a=15\Rightarrow a=\dfrac{15}{7} \notin\mathbb{N}_0$

Если $b=5$, то:

$7a+55=59\Rightarrow7a=4\Rightarrow a=\dfrac{4}{7} \notin\mathbb{N}_0$

При больших значениях $b$ значение $a$ будет вовсе отрицательным. Значит, уравнение решений не имеет.

Тогда, получить 60 частей листа с помощью указанных действий нельзя.

Ответ: нет, нельзя