Question

...............................

Answer 1

Ответ:

75

Пошаговое объяснение:

Если я правильно понял условие задачи, вопрос в том, сколько существует 20-буквенных слов нужного типа. Первые десять мест занимают буквы A и B, по пять каждая, способов их там расставить ровно  $C_{10}^5=\dfrac{10!}{5!\cdot (10-5)!}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=4\cdot 9\cdot 7=2^2\cdot 3^2\cdot 7.$ Смысл в том, что мы подсчитываем количество способов расставить 5 букв A на 10 местах (остальные 5 мест автоматически остаются для буквы B).

Столько же способов расставить буквы C и D, поэтому общее количество слов равно

                           $(2^2\cdot 3^2\cdot 7)^2=2^4\cdot 3^4\cdot 7^2.$

В каждый натуральный делитель этого числа входит множителем некоторая степень числа 2 (наименьший показатель степени нулевой, наибольший четыре), некоторая степень числа 3 (показатель также от 0 до 4), а также некоторая степень числа 7 (показатель от нуля до двух). Поэтому натуральных делителей у этого числа ровно

                                          $5\cdot 5\cdot3=75.$

И вообще, если дано разложение некоторого числа на простые множители:     $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots \cdot p_m^{k_m},$ то натуральных делителей у него ровно                  $(k_1+1)\cdot (k_2+1)\cdot\ldots\cdot (k_m+1).$