Question

помогите решить
желательно на листке решения

Answer 1

Ответ:

а) Функция f(x) = x² -2·x + 4

убывает при x ∈ (-∞; 1), возрастает при x ∈ (1; +∞).

б) Функция f(x) = 4 + 5·x - x²

убывает при x ∈ (2,5; +∞), возрастает при x ∈ (-∞; 2,5).

в) Функция f(x) = x³ + 3·x + 2

Заключение: Так как для функции f(x) = x³ + 3·x + 2 (производная)  

f'x) > 0 при любых x ∈ R, то есть функция возрастает при x ∈ R.

г) Функция f(x) = 3·x - x³

убывает при x ∈ (-∞; -1)∪(1; +∞), возрастает при x ∈ (-1; 1).

Объяснение:

Перевод: Найдите промежутки убывания и возрастания:

а) f(x) = x² - 2·x + 4;    в) f(x) = x³ + 3·x + 2;

б) f(x) = 4 + 5·x - x²;   г) f(x) = 3·x - x³.

Нужно знать следующую теорему:

• если (производная) f '(x) < 0 при всех x∈(a; b), то функция убывает на (a; b);
• если (производная) f '(x) > 0 при всех x∈(a; b), то функция возрастает на (a; b).

Решение.

а) f(x) = x² -2·x + 4

1) Вычислим производную функции:

f '(x) = (x² - 2·x + 4)' = 2·x - 2.

2) Находим промежутки убывания:

f '(x) < 0 ⇔ 2·x - 2 < 0 ⇔ x < 1.

3) Заключение: Функция f(x) = x² -2·x + 4

убывает при x ∈ (-∞; 1), возрастает при x ∈ (1; +∞).

б) f(x) = 4 + 5·x - x²

1) Вычислим производную функции:

f '(x) = (4 + 5·x - x²)' = 5 - 2·x.

2) Находим промежутки убывания:

f '(x) < 0 ⇔ 5 - 2·x < 0 ⇔ x > 2,5.

3) Заключение: Функция f(x) = 4 + 5·x - x²

убывает при x ∈ (2,5; +∞), возрастает при x ∈ (-∞; 2,5).

в) f(x) = x³ + 3·x + 2

1) Вычислим производную функции:

f '(x) = (x³ + 3·x + 2)' = 3·x² + 3.

2) Находим промежутки убывания:

f '(x) = 3·x² + 3 ≥ 3 > 0.

3) Заключение: Так как для функции f(x) = x³ + 3·x + 2 (производная)  

f'x) > 0 при любых x ∈ R, то функция возрастает при x ∈ R.

г) f(x) = 3·x - x³

1) Вычислим производную функции:

f '(x) = (3·x - x³)' = 3 -  3·x².

2) Находим промежутки убывания:

f '(x) < 0 ⇔ 3 -  3·x² < 0 ⇔ (x - 1) · (x + 1) > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -1)∪(1; +∞).

3) Заключение: Функция f(x) = 3·x - x³

убывает при x ∈ (-∞; -1)∪(1; +∞), возрастает при x ∈ (-1; 1).