Question

Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2

Answer 1

$x+ \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2-2x+1+2x}{x} = \frac{(x-1)^2+2x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}+2 \\\ (x-1) \geq 0 \\\ x>0 \\\ \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0 \\\ \frac{(x-1)^2}{x}+2 \geq 2$

Answer 2

а+1/а≥2
а+1/а-2≥0 домножим каждое слагаемое на а≠0
а²-2а+1≥0
(а+1)²≥0
неравенство верное, т.к. квадрат любого выражения неотрицателен. Утверждение доказано.