Question

Найти, сколько корней уравнено

Sin 3x - Sin x = 0
1 - cos x
пренадлежит промежутку _ Пи Пи
2 2​

Answer 1

Ответ:

Asix ответил 5 лет назад

Рассмотрим левую часть уравнения sin 3x — sin x = 0.

Очевидно, что это разность синусов от различных аргументов. Используем формулу разности синусов и запишем:

\[{\sin 3x\ }-{\sin x\ }=2{\sin \frac{3x-x}{2}\ }{\cos \frac{3x+x}{2}\ }=2{\sin x\ }{\cos 2x\ }\]

Запишем исходное выражение с учетом полученного выражения:

\[2{\sin x\ }{\cos 2x\ }=0\]

Чтобы немного его упростить, сократим уравнение на 2 и решим получившееся.

Произведение синуса х на косинус 2х равно нулю, следовательно, или синус равен нулю, или косинус. Таким образом, получаем два уравнения, каждое из которых нужно решить.

Первое уравнение имеет вид {\sin x\ }=0.

Значение синуса равно 0, если аргумент равен Пи, 2Пи и т.д. через промежутки Пи. Запишем решение:

x=\pi n при любом n из множества целых чисел.

Решим второе уравнение:

\[{{\rm cos\ } 2x\ }=0.\]

Косинус равен нулю при аргументе Пи/2 через промежутки Пи. Тогда:

2x=\frac{\pi}{2}+\pi n при любом n из множества целых чисел.

Получить окончательное решение уравнения можно, вычислив значение переменной х. Найдем его путем деления обеих частей уравнения на два:

x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} при любом n из множества целых чисел.

Окончательным решением данного уравнения будет объединение полученных корней.

Ответ. x=\pi n, x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pin}{2} при любом n из множества целых чисел.