Question

ПОЖАЛУСТА БЫСТРО !!!!!
Докажите, что число 1111103 не является суммой двух
квадратов натуральных чисел.

Answer 1

Натуральные числа можна представить в виде 4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3, где n - натуральное число либо число 0.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(4n)^2=16n^2=4*4n^2$ - остаток от деления на 4 равен 0

$(4n+1)^2=(4n)^2+2*(4n)*1+1^2=16n^2+8n+1=(16n^2+8n)=$

$4*(4n^2+2n)+1$ - остаток от деления на 4 равен 1

$(4n+2)^2=(4n)^2+2*(4n)+2^2=16n^2+8n+4=4*(4n^2+2n+1)$ - остаток от деления на 4 равен 0

$(4n+3)^2=(4n)^2+2*(4n)+3^2=16n^2+24n+9=(16n^2+24n+8)+1=$

$4*(4n+6n+2)+1$ - остаток от деления на 4 равен 1

т.е. квадрат натурального числа при делении нацело на 4 дает в остатке либо 0, либо 1

отсюда сумма двух квадратов может дать в остатке либо 0 (0+0 =0, остаток при делении на 4 равен 0), либо 1 (1+0=0+1=1, , остаток при делении на 4 равен 1), либо 2 (1+1=2, остаток при делении на 4 равен 2)

(остаток суммы при делении нацело равен остатку от деления сумы остатков на число)

число 1111103 при делении на 4 дает остаток 3, (не 0, не 1 и не 2), а значит утверждение истинно. Доказано