Question

Зайти невизначені інтеграли:

1) (4x³+5/x) dx;

4)x³dx/x⁴+7

Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Неопределенные интегралы:

1) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \int {\bigg(4x^{3} + \frac{5}{x} \bigg)} \, dx = x^{4} + 5 \ln|x| +C}}$

2) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \int {\frac{x^{3}\ dx}{x^{4} + 7} } =0,25\ln |x^{4} + 7| + C} }$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \ dx= \ln |x| + C}$

$\boxed{ \displaystyle \int x^{n} \ dx= \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C;x > 0;n \neq -1}$

Правила интегрирования:

$\displaystyle \int {\bigg(f(x) \pm g(x) \bigg)} \, dx = \int {f(x) } \, dx \pm \int { g(x) \, dx$

$\displaystyle \int {kf(x) } \, dx = k \int {f(x) } \, dx$

Пошаговое объяснение:

1)

$\displaystyle \int {\bigg(4x^{3} + \frac{5}{x} \bigg)} \, dx = \int {4x^{3} } \, dx + \int { \frac{5}{x} } \, dx = 4 \int {x^{3} } \, dx + 5\int { \frac{1}{x} } \, dx =$

$\displaystyle = 4 \cdot \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + C_{1} + 5 \ln|x| + C_{2} = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} + C_{1} + 5 \ln|x| + C_{2} =$

$= x^{4} + 5 \ln|x| +C$

2)

$\displaystyle \int {\frac{x^{3}\ dx}{x^{4} + 7} } = \frac{1}{4} \int {\frac{ d(x^{4})}{x^{4} + 7} } = \frac{1}{4} \cdot \ln |x^{4} + 7| + C = 0,25\ln |x^{4} + 7| + C$

(В данном интеграле под дифференциал вносится $x^{4}$, но так как после внесения под дифференциал интеграл не должен изменится, то его умножаем на 0,25)