Дано уравнение окружности с центром: a) найти Центр и радиус. x2 + y2-6x-4y + 5 = 0 b) окружность пересекается с осью Ох в точках А и В с) найдите площадь треугольника АВС
Ответы
Решение:
a) Уравнение окружности:
(х - х0)² + (y - y0)² = r², где
- (х0, у0) - координаты центра
- r - радиус
Приведем наше уравнение к такому виду с помощью выделения полных квадратов:
х² + y² - 6x - 4y + 5 = 0
(x² - 6x) + (y² - 4y) + 5 = 0
(x² - 2*3*x) + (y² - 2*2*y) + 5 = 0
(x² - 2*3*x + 3² - 3²) + (y² - 2*2*y + 2² - 2²) + 5 = 0
(x² - 2*3*x + 3²) - 3² + (y² - 2*2*y + 2²) - 2² + 5 = 0
(x - 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 + 5 = 0
(x - 3)² + (y - 2)² = 9 + 4 - 5
(x - 3)² + (y - 2)² = 8
Итого:
- Центр: (3, 2)
- Радиус:
b) В точках, где окружность пересекается с Ох, у = 0. Найдем эти точки:
(х - 3)² + (y - 2)² = 8
(х - 3)² + (0 - 2)² = 8
(х - 3)^2 + (-2)² = 8
(х - 3)² + 4 = 8
(х - 3)² = 8 - 4
(х - 3)² = 4
x - 3 = 2 или х - 3 = -2
x = 5 или х = 1
Итого:
- А: (1, 0)
- В: (5, 0)
с) Найти площадь можно двумя способами.
Способ I: Занудный
Формула Герона:
S = , где
a, b, c - стороны треугольника
р - полупериметр
Обозначим центр точкой О.
Имеем:
- О (3, 2)
- А (1, 0)
- В (5, 0)
ОА и ОВ - радиусы, равные
AB = 5 - 1 = 4
=> p = (4 + +
) / 2 = 2 +
S = =
=
= 4
Способ II: Быстрый
Сделаем дополнительное построение: опустим перпендикуляр из центра на Ох. Так как центр находится в точке (3, 2), перпендикуляр попадет в точку (3, 0). Пусть это будет точка С.
Имеем:
- О (3, 2)
- А (1, 0)
- В (5, 0)
- С (3, 0)
Найдем АС и ВС:
- АС = 3 - 1 = 2
- ВС = 5 - 3 = 2
Рассмотрим треугольники АОС и ВОС:
- ОА = ОВ (как радиусы)
- ОС - общая сторона
- АС = ВС = 2
=> равны по трем сторонам.
Найдем площадь одного из них.
ОАС прямоугольный (по построению ОС), поэтому его площадь находится по формуле:
S = a*b / 2, где
a, b - катеты
- OC = 2 - 0 = 2
- AO = 2,
поэтому S = 2*2/2 = 2
Треугольники одинаковы, поэтому площадь ОСВ тоже 2.
Следовательно, их общая площадь равна 2 + 2 = 4.
Ответ: 4
![](https://files.topotvet.com/i/e39/e3981452a93bdc39d56b943d5ec681be.png)