Предмет: Геометрия, автор: gccytcydd

Дано уравнение окружности с центром: a) найти Центр и радиус. x2 + y2-6x-4y + 5 = 0 b) окружность пересекается с осью Ох в точках А и В с) найдите площадь треугольника АВС

Ответы

Автор ответа: SheWhoRunsOnTheWaves
1

Решение:

a) Уравнение окружности:

(х - х0)² + (y - y0)² = r², где

  • (х0, у0) - координаты центра
  • r - радиус

Приведем наше уравнение к такому виду с помощью выделения полных квадратов:

х² + y² - 6x - 4y + 5 = 0

(x² - 6x) + (y² - 4y) + 5 = 0

(x² - 2*3*x) + (y² - 2*2*y) + 5 = 0

(x² - 2*3*x + 3² - 3²) + (y² - 2*2*y + 2² - 2²) + 5 = 0

(x² - 2*3*x + 3²) - 3² + (y² - 2*2*y + 2²) - 2² + 5 = 0

(x - 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 + 5 = 0

(x - 3)² + (y - 2)² = 9 + 4 - 5

(x - 3)² + (y - 2)² = 8

Итого:

  • Центр: (3, 2)
  • Радиус: \sqrt{8}

b) В точках, где окружность пересекается с Ох, у = 0. Найдем эти точки:

(х - 3)² + (y - 2)² = 8

(х - 3)² + (0 - 2)² = 8

(х - 3)^2 + (-2)² = 8

(х - 3)² + 4 = 8

(х - 3)² = 8 - 4

(х - 3)² = 4

x - 3 = 2 или х - 3 = -2

x = 5 или х = 1

Итого:

  • А: (1, 0)
  • В: (5, 0)

с) Найти площадь можно двумя способами.

Способ I: Занудный

Формула Герона:

S = \sqrt{p*(p - a)*(p - b)*(p - c)}, где

a, b, c - стороны треугольника

р - полупериметр

Обозначим центр точкой О.

Имеем:

  • О (3, 2)
  • А (1, 0)
  • В (5, 0)

ОА и ОВ - радиусы, равные \sqrt{8}

AB = 5 - 1 = 4

=> p = (4 + \sqrt{8} + \sqrt{8}) / 2 = 2 + \sqrt{8}

S = \sqrt{(2 + \sqrt{8} ) * (2 +\sqrt{8}  -\sqrt{8}  ) * (2 + \sqrt{8}  - \sqrt{8} ) * (2 + \sqrt{8}  - 4)}=

\sqrt{(2+\sqrt{8} ) * 2 * 2 * (\sqrt{8} - 2) } =

\sqrt{(8 - 4) * 2 * 2} = 4

Способ II: Быстрый

Сделаем дополнительное построение: опустим перпендикуляр из центра на Ох. Так как центр находится в точке (3, 2), перпендикуляр попадет в точку (3, 0). Пусть это будет точка С.

Имеем:

  • О (3, 2)
  • А (1, 0)
  • В (5, 0)
  • С (3, 0)

Найдем АС и ВС:

  • АС = 3 - 1 = 2
  • ВС = 5 - 3 = 2

Рассмотрим треугольники АОС и ВОС:

  • ОА = ОВ (как радиусы)
  • ОС - общая сторона
  • АС = ВС = 2

=> равны по трем сторонам.

Найдем площадь одного из них.

ОАС прямоугольный (по построению ОС), поэтому его площадь находится по формуле:

S = a*b / 2, где

a, b - катеты

  • OC = 2 - 0 = 2
  • AO = 2,

поэтому S = 2*2/2 = 2

Треугольники одинаковы, поэтому площадь ОСВ тоже 2.

Следовательно, их общая площадь равна 2 + 2 = 4.

Ответ: 4

Приложения:

orjabinina: А чертеж к "незанудному"?
gccytcydd: ОАОАОАОАОАОАОАО ОГРОМНОООООЕ ВАМ СПАСИБО
Похожие вопросы
Предмет: История, автор: nastyajuliya