Одна из сторон треугольника лежит на оси абсцисс декартовой
прямоугольной системы координат, другая – на прямой y = 2x+6. Третья
сторона содержит точку M(8, 4). Найти координаты всех вершин
треугольника, если его площадь наименьшая из возможных.
Ответы
Одна из сторон треугольника лежит на оси абсцисс декартовой прямоугольной системы координат, другая – на прямой y = 2x+6. Третья сторона содержит точку M(8; 4).
Найти координаты всех вершин треугольника, если его площадь наименьшая из возможных.
Находим вершину А треугольника как точку пересечения прямой
y = 2x+6 и оси абсцисс. Для этого приравняем нулю функцию y = 2x+6.
2х + 6 = 0,
х = -6/2 = -3. Получили вершину А(-3; 0).
Далее примем произвольную точку В на прямой с координатами:
В(хВ; уВ).
Получим уравнения прямой, содержащей сторону ВС и проходящей через точку М(8; 4). Направляющий вектор прямой равен (хВ - 8; уВ - 4).
Уравнение ВС: (х – 8)/(хВ – 8) = (у – 4)/ (уВ - 4).
Так как точка В лежит на прямой у = 2х + 6, то координату уВ в направляющем векторе заменим: (2хВ + 6 – 4) = (2хВ + 2).
Уравнение ВС станет: (х – 8)/(хВ – 8) = (у – 4)/ (2хВ + 2).
На этой прямой ордината точки С равна 0 (у = уС = 0).
Тогда координата х = хС.
-4хВ + 32 = хС*2хВ - 16хВ + 2хС – 16,
хС*(2хВ + 2) = 12хВ + 48,
хС = = (12хВ + 48)/(2хВ + 2),
хС = = 6(хВ + 4)/(хВ + 1).
Так как сторона АС лежит на оси Ох, то ордината точки В является высотой треугольника АВС на сторону АС: h = (2хВ + 6).
Длина стороны АС = хС – хА =(6(хВ + 4)/(хВ + 1)) – (-3) =
= (6(хВ + 4)/(хВ + 1)) + 3 = = (6хВ + 24 +3хВ + 3)/(хВ + 1)) =
= (9хВ + 27)/(хВ + 1)) = (9(хВ + 3))/(хВ + 1)).
Площадь S(ABC) = (1/2)h*AC = (1/2)* (2хВ + 6)* (9(хВ + 3))/(хВ + 1)).
После упрощения получаем:
S(ABC) = (9(хВ + 3)²)/(хВ + 1).
Найдём минимум этой функции с помощью производной, представив хВ = х.
9(x + 3)²)/(x + 1)’ = (9*(2*(x + 3)*(x + 1) – (x + 3)²*1)/(x + 1) ² =
= (9*(2*(x² + 4x + 3) – x² - 6x - 9)))/(x + 1) ² =
= (9*(2x² + 8x + 6 – x² - 6x - 9)))/(x + 1) ² =
= (9*(x² + 2x - 3)))/(x + 1) ².
Приравняем производную нулю (достаточно выражение в скобках в числителе): x² + 2x – 3 = 0.
Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-3)=4-4*(-3)=4-(-4*3)=4-(-12)=4+12=16;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: *1 + 6 = 8
x_1=(√16-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1;
x_2=(-√16-2)/(2*1)=(-4-2)/2=-6/2=-3.
Второе решение отбрасываем, так как оно совпадает с абсциссой точки А, для точки В принимаем х = 1, тогда у = 2*1 + 6 = 8.
Найдены координаты точки В(1; 8).
Для точки С используем выше найденное выражение:
хС = 6(хВ + 4)/(хВ + 1) = 6*(1 + 4)/(1 + 1) = 30/2 = 15
Точка С(15; 0).
