Question

Неопределенные интегралы. Решите, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

1) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int {\dfrac{\sqrt{x} - 2x^{3} + 6 }{x} } \, dx = 2\sqrt{x} - \frac{2x^{3}}{3} + 6 \ln |x| + C } }$

2) $\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int {\sin^{3} 7x \cos 7x} \, dx = \dfrac{\sin^{4} 7x}{28} + C } }$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int x^{n} \ dx = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1} + C;x > 0;n \neq -1 }$

$\boxed{ \displaystyle \int \frac{1}{x} \ dx = \ln|x| + C}$

Пошаговое объяснение:

1)

$\displaystyle \int {\dfrac{\sqrt{x} - 2x^{3} + 6 }{x} } \, dx = \int {\dfrac{x^{0,5} - 2x^{3} + 6 }{x} } \, dx = \int {\bigg (\frac{x^{0,5}}{x^{1}} - \frac{2x^{3}}{x} +\frac{6}{x} \bigg) } \, dx =$

$\displaystyle = \int {\bigg (x^{0,5 - 1} - 2x^{2} +6\cdot \frac{1}{x} \bigg) } \, dx = \int {\bigg (x^{-0,5} - 2x^{2} +6\cdot \frac{1}{x} \bigg) } \, dx =$

$\displaystyle = \dfrac{x^{-0,5 + 1}}{-0,5 + 1} - 2 \cdot \dfrac{x^{3}}{3} + 6 \ln |x|+C = 2\sqrt{x} - \frac{2x^{3}}{3} + 6 \ln |x| + C$

2)

$\displaystyle \int {\sin^{3} 7x \cos 7x} \, dx =\frac{1}{7} \int {\sin^{3} 7x } \, d(\sin 7x) = \frac{1}{7} \cdot \dfrac{\sin^{4} 7x}{4} + C = \dfrac{\sin^{4} 7x}{28} + C$