Question

Помогите пж! Найти производную функцию

Answer 1

Ответ:

1)           $\displaystyle \boldsymbol { f'\bigg(\frac{\pi}{4} \bigg)=-1}$

2)       $\displaystyle \boldsymbol{ f'\bigg(\frac{\pi}{6} \bigg) =4.5}$

3)        $\displaystyle\boldsymbol{ f'(x)= 3^{\displaystyle sin^2(x)}*ln(9)*sin(x)*cos(x) }$

Пошаговое объяснение:

Все производные - производные сложных функций

1)

f(x) = 3ln(cos²(x))

Преобразуем функцию

$\displaystule f(x) = 3ln(cos^2(x)) = 3*2ln(cos(x))$

Первая производная

используем формулы

$\displaystyle (ln(u) )' = \frac{1}{u} u';\quad (cos(x) = -sin(x)$

находим производную

$\displaystyle f'(x) =\bigg(3ln(cos^2(x))\bigg)'*(cos(x))'=3*\frac{1}{cos(x)} *2*(-sin(x))=-6tg(x)$

$\displaystyle \boldsymbol { f'\bigg(\frac{\pi}{4} \bigg)=-1}$

2)

f(x) = 2sin³(2x)

Здесь будем раскручивать "тройную" вложенность

(uⁿ)' = n*uⁿ⁻¹;      (sin(x))' = cos(x);  (2x)' = 2

$\displaystyle f'(x) = \bigg( 2sin^3(2x)\bigg)'=2*3*sin^2(2x)*cos(2x)*2=12sin^2(2x)cos(2x)$

$\displaystyle f'\bigg(\frac{\pi}{6} \bigg) = 12*\bigg(\frac{\sqrt{3} }{2} \bigg)^2*\frac{1}{2} =\frac{12*3*1}{4*2} =\boldsymbol {4.5}$

3)

$\displaystyle f(x) = 3^{ \displaystyle sin^2(x)}$

Используем формулы

$\displaystyle \bigg (sin(x)\bigg)' = cos(x);\qquad \bigg(a^x\bigg)'=a^x*ln(a);\quad k*ln(a)=ln(a^k)$

$\displaystyle f'(x) =\bigg( 3^{\displaystyle sin^2(x)}\bigg)'=\bigg(3^{\displaystyle sin^2(x)}*ln(3)\bigg)*\bigg(2sin(x)\bigg)*cos(x)=\\\\\\=\boldsymbol{ 3^{\displaystyle sin^2(x)}*ln(9)*sin(x)*cos(x) }$