Question

Дана функция двух переменных. Найдите градиент в точке (-2;-4).
Ответ запишите в виде "(-19;52)" без пробелов и через точку с запятой.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ \mathrm {grad}\ z = (-17; -7)}}$

Пошаговое объяснение:

Функция: $z = 6xy + 7x + 5y$

Частные производные:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = (6xy + 7x + 5y)_{x}' = 6y + 7$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = (6xy + 7x + 5y)_{y}' = 6x + 5$

Градиент:

$\mathrm {grad}\ z = \dfrac{\partial z}{\partial x}i + \dfrac{\partial z}{\partial y}j$

Градиент функции $z$ в точке $(-2;-4):$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{ (-2;-4)} = 6 \cdot (-4) + 7= -24 + 7 = -17$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{ (-2;-4)} = 6 \cdot (-2) + 5= -12 + 5 = -7$

$\boldsymbol{ \mathrm {grad}\ z = -17i -7j}$

Градиент в координатной форме:

$\boldsymbol{ \mathrm {grad}\ z = (-17; -7)}$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Задана функция:

f(x) = 6·x·y + 7·x + 5·y

Точка:

M (-2, -4)

Найдем частные производные:

f'(x) = 6x + 5

f'(y) = 6y + 7

Тогда:

f'(-2) = 6·(-2) + 5 = -12 + 5 = -7

f'(-4) = 6·(-4) + 7 = - 24 + 7 = - 17

Градиент в точке:

grad = -7·i - 17·j