Question

Как решить систему кубических уравнений?
{ x^3 - 3x^2 + 5x - 1 = 0
{ y^3 - 3y^2 + 5y - 5 = 0
Задача: найти сумму x + y.

Answer 1

$\begin{cases}x^3-3x^2+5x-1=0\\y^3-3y^2+5y-5=0\end{cases}= > \ \ +\begin{cases}(x-1)^3+2x=0\\(y-1)^3+2y-4=0\end{cases}= >$

$= > \ \ (x-1)^3+(y-1)^3+2x+2y-4=0$

$(x-1+y-1)\Big((x-1)^2-(x-1)(y-1)+(y-1)^2\Big)+2(x+y-2)=0\\\\(x+y-2)(x^2-x-xy+y^2-y+3)=0\\\\= > \ \ \left[\begin{array}{lcl}x+y=2\\x^2-x(y+1)+y^2-y+3=0\end{array}$

$x^2-(y+1)x+y^2-y+3=0\\\\D=(-(y+1))^2-4(y^2-y+3)=y^2+2y+1-4y^2+4y-12=-3y^2+6y-11$

действительные корни существуют при $-3y^2+6y-11\geq 0$

$-3y^2+6y-11=0\\D=36-4\cdot3\cdot11=-96$ < 0 - нет действительных корней

трёхчлен не раскладывается на множители и не пересекает ось Ox, при a = -3 ветви направлены вниз и значения функции никогда не равны и не больше нуля

значит, дискриминант первого уравнения всегда отрицателен и не имеет корней в действительных числах

отсюда единственное решение x + y = 2

Ответ:  2