Question

Катушка индуктивностью L замыкают на конденсатор емкостью С1, при этом
в полученном колебательном контуре возникают колебания с частотой υ1 = 50 Гц. Если
эту же катушку замкнуть на конденсатор с емкостью С2, то частота возникающих
колебаний станет υ2 = 100 Гц. Какой частоты возникнут колебания в контуре, если
конденсаторы емкостью С1 и С2 соединить последовательно, и подключить
к используемой катушке индуктивности?

Answer 1

Ответ:

В контуре возникнут колебания частотой приблизительно 111,8 Гц

Объяснение:

Дано:

$L$

$C_{1}$

$\nu_{1} =$ 50 Гц

$C_{2}$

$\nu_{2} =$ 100 Гц

Найти:

$\nu_{12} \ - \ ?$

----------------------------------

Решение:

По формуле Томсона:

$\boxed{T = 2\pi \sqrt{LC} }$ - период колебаний

$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC} }$

$\bigg(\nu \bigg)^{2} = \bigg( \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC} } \bigg)^{2}$

$\nu^{2} = \dfrac{1}{4\pi ^{2}LC} \Longrightarrow \boxed{ C = \dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu^{2}L} }$

При последовательном соединении конденсаторов:

$\dfrac{1}{C_{12}} = \dfrac{1}{C_{1}} +\dfrac{1}{C_{2}}$

$\dfrac{1}{C_{12}} = \dfrac{C_{1} +C_{2}}{C_{1}C_{2}} \Longrightarrow C_{12} = \dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1} +C_{2}}$

$C_{12} = \dfrac{C_{1}C_{2}}{C_{1} +C_{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{1}^{2}L} \cdot \dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{2}^{2}L}}{\dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{1}^{2}L} + \dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{2}^{2}L}} = \dfrac{\dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{1}^{2}L} \cdot \dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{2}^{2}L}}{\dfrac{1}{4\pi ^{2}L} \bigg(\dfrac{1}{\nu_{1}^{2}} + \dfrac{1}{\nu_{2}^{2}} \bigg)} =$$= \dfrac{\dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{1}^{2}L} \cdot \dfrac{1}{4\pi ^{2}\nu_{2}^{2}L}}{\dfrac{1}{4\pi ^{2}L} \bigg(\dfrac{\nu_{2}^{2} + \nu_{1}^{2}}{\nu_{1}^{2}\nu_{2}^{2}} \bigg)} = \dfrac{4\pi ^{2}L\nu_{1}^{2}\nu_{2}^{2}}{4\pi ^{2}\nu_{1}^{2}L \cdot 4\pi ^{2}\nu_{2}^{2}L(\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2})} =\dfrac{1}{4\pi ^{2}L(\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2})}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Частота контура состоящего из конденсаторов ёмкостью $C_{1}$ и $C_{2}$.

$\nu_{12} = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC_{12}} } = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{L \cdot\dfrac{1}{4\pi ^{2}L(\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2})}} } = \dfrac{1}{\dfrac{2 \pi}{2 \pi}\sqrt{\dfrac{1}{\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2}} } } =$

$= \dfrac{\dfrac{1}{1} }{\dfrac{1}{\sqrt{\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2}} } } =\sqrt{\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2}}$.

$\boxed{ \boldsymbol{ \nu_{12}= \sqrt{\nu_{1}^{2} + \nu_{2}^{2}} } }$

$\nu_{12} =$ √(2500 Гц² + 10 000 Гц²) $\approx$ 111,8 Гц

Ответ: $\nu_{12} \approx$ 111,8 Гц.