Question

Найдите sin2a, cos2a, tg2a, если:
1) cos a = - 3/5
2 п < a < 3п/2

Answer 1

Дано:$\large \cos \alpha = - \frac{3}{5} ,\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}, \large \alpha \in$ III чет.

Найти:$\large \sin2 \alpha$-? , $\large \cos2 \alpha$-?, $\large \text{tg}2\alpha$-?

=======================

=======================

• Чтобы найти $\large \sin2\alpha$ сперва нужно найти $\large \sin \alpha$.

• Применим основное тригонометрическое тождество:$\large \boxed{ \rm\large\sin {}^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1}$

• Отсюда выразим $\large \sin^{2} \alpha$.

$\large \sin {}^{2} \alpha = 1 - \cos {}^{2} \alpha$

$\large \cos \alpha$ нам известен, подставим:

$\large \sin {}^{2} \alpha = 1 - \displaystyle\left(- \frac{3}{5} \right){}^{2}$

$\large \sin {}^{2} \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$

• Мы нашли только $\large \sin^{2} \alpha$, а нам нужен $\large \sin \alpha$.Извлечем корень.

$\large \sin\alpha = \pm \sqrt{ \frac{16}{25} } = \tt \pm \frac{4}{5}$.

• В условии нам дан четверть, значит нужно определить знак. Так как угол α по условию должен находиться в 3-й четверти, то выбираем отрицательное значение синуса: $\large -\frac{4}{5}$

• Теперь сможем воспользоваться формулой для $\large \sin2\alpha$.

Формула:$\large \sin2\alpha=2\sin\alpha *\cos\alpha$.

$\large \sin2 \alpha = 2 \: * \: \displaystyle\left( -\frac{4}{5}\right) \: * \:\displaystyle\left( - \frac{3}{5}\right ) = - \frac{8}{5} \: * \:\displaystyle\left( - \frac{3}{5} \right)$

$\large \sin2 \alpha = - \frac{8}{5}\: * \:\displaystyle\left( - \frac{3}{5}\right ) = \boxed{ \bf \frac{24}{25} }$

• Дальше, формула для $\large \cos2\alpha$: $\boxed{ \large \cos2 \alpha = \cos {}^{2} \alpha - \sin {}^{2} \alpha }$

• Всё известно, подставим.

$\large \cos2 \alpha = \underset{ \Large\frac{9}{25} }{ \underbrace{ \displaystyle \left( - \frac{3}{5} \right) {}^{2}}} - \underset{ \Large\frac{16}{25} }{ \underbrace{ \displaystyle \left(-\frac{4}{5} \right ) {}^{2} }}$

$\large \cos2 \alpha = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = \boxed{ \bf- \frac{7}{25} }$

Формула для tgα : $\boxed{\large \text{tg}2\alpha = \frac{ \sin2 \alpha }{ \cos 2\alpha } }$

$\large\text{tg}2 \alpha = \frac{24}{25} : \displaystyle\left( - \frac{7}{25}\right ) \: \: \Rightarrow \: \: \frac{24}{ \not25} \: * \: \displaystyle\left(- \frac{ \not25}{7}\right )= \boxed{ - \bf\frac{24}{7} }$

Ответ: Sin2α= 24/25, Cos2α=- 7/25, tg2α=-24/27

Answer 2

Дано:$\large \cos \alpha = - \frac{3}{5} ,[\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\Rightarrow \alpha \in$III четверти$]$

Найти: $\sin2 \alpha, \cos2 \alpha,\tan2\alpha$

Решение:

Формулы двойного угла:

1) sin2α=2siα*cosα

2)cos2α=cos²α-sin²α

3)tg2α=(2tgα)/(1-tg²α)

$\sin\alpha =\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha }=\pm\sqrt{1-(-\frac{3}{5} )^2} =\pm\sqrt{^{_{25/}}1-\frac{9}{25} } =\pm \sqrt{\frac{16}{25} } =\pm \frac{4}{5}$

Т.к дана четверть угла, нужно определиться знаками результата синуса. Синус угла в 3-ей четверти  отрицательный .. Поэтому выбираем ответ который будет с минусом: $-\frac{4}{5}$

Воспользуемся формулами двойного угла:

$1)\large\sin2\alpha =2\cdot (-\frac{4}{5} )\cdot (-\frac{3}{5} )=\frac{8}{5} \cdot \frac{3}{5} =\frac{24}{25}$

$2)\large\cos2\alpha =(-\frac{3}{5} )^2-(-\frac{4}{5} )^2=\frac{9}{25} -\frac{16}{25} =-\frac{7}{25}$

Для тангенса двойного угла - найдём "просто tgα" по триг.тождеству:

$\Large{\text{tg}\alpha =\frac{\sin\alpha }{\cos\alpha } \Rightarrow\frac{-\frac{4}{\not5} }{-\frac{3}{\not5} } =\frac{4}{3}}$

Для тангенса тоже нужно  было определить знак, т.к было использованно триг.тождество.

И так ,тангенс угла в 3-ей четверти положительный , значит результат уже без минуса.

Теперь  через формулу двойного угла для тангенса:

$3)\Large{\text{tg}2\alpha =\frac{2\cdot \frac{4}{3} }{1-(\frac{4}{3} )^2} =\frac{\frac{8}{3} }{^{_{9/}}1-\frac{16}{9} } =\frac{\frac{8}{\not3} }{-\frac{7}{\not9} }=-(8\cdot \frac{3}{7} )=-\frac{24}{7}}$

Ответ:  sin2α=24/25 , cos2α= - 7/25 , tg2α= - 24/7