Question

измените порядок интегрирования ​

Answer 1

Решение.

$\displaystyle \int\limits^4_1\, dy\int\limits_{1/y}^{\frac{2y}{3}+\frac{1}{3}}\, f(x,y)\, dx$

Переменные изменяются в таких пределах :  $1 < \, y\, < 4\ \ ,\ \ \ \ \ \dfrac{1}{y} < \, x\, < \dfrac{2}{3}\, y+\dfrac{1}{3}$                        

Если спроектировать область на ось ОХ , то изменения х будут в пределах  от 1/4 до 1  в первой области , и от 1 до 3 во второй области .

Из    $x=\dfrac{1}{y}$  следует, что  $y=\dfrac{1}{x}$   .

Из   $x=\dfrac{2}{3}\, y+\dfrac{1}{3}$   следует, что   $y=\dfrac{3}{2}\, x-\dfrac{1}{2}$   .

$\displaystyle \int\limits^4_1\, dy\int\limits_{1/y}^{\frac{2y}{3}+\frac{1}{3}}\, f(x,y)\, dx=\displaystyle \int\limits_{\frac{1}{4}}^1\, dx\int\limits_{\frac{1}{x}}^{4}\, f(x,y)\, dy+\displaystyle \int\limits^3_1\, dx\int\limits^{4}_{\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}}\, f(x,y)\, dy$