Доказать, что для любых тех точек A, B, C справедливо справедливо соотношение AB*BC=BC*CA.(векторы)
Ответы
Ответ:
характеристического свойства множество всех
точек плоскости, принадлежащих первому координатному углу.
5. Выпишите все подмножества множества {1, 2, 3}.
2.2 Операции над множествами
2.2.1 Определение операций над множествами
Рассмотрим операции пересечения, объединения и разности над
множествами. При этом будем считать, что рассматриваемые множества
являются подмножествами некоторого универсального множества U .
Опpеделение 2.2.1 Пересечением множеств A и B называется
множество A ∩ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые
принадлежат множеству A и множеству B.
Согласно определению 2.2.1 A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
и графически изображается заштрихованной A B
областью, представленной на рисунке 2.
Рис. 2.
Опpеделение 2.2.2 Объединением множеств A и B называется
множество A ∪ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые
принадлежат множеству A или множеству B.
Согласно определению 2.2.2 A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
и графически изображается заштрихованной A B
областью, представленной на рисунке 3.
Рис. 3.
Опpеделение 2.2.3 Разностью множеств A и B называется
множество A \ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые
принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.
Согласно определению 2.2.3 A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
/
и графически изображается заштрихованной A B
областью, представленной на рисунке 4.
Рис. 4.
Опpеделение 2.2.4 Дополнением множества A до универсального
множества U называется множество A, состоящее из тех и только
тех элементов, которые принадлежат множеству U и не принадлежат
множеству A.
41
Согласно определению 2.2.4 A = {x | x ∈ U ∧ x ∈ A}
/
и графически изображается заштрихованной
A U
областью, представленной на рисунке 5.
Из определений 2.2.4 и 2.2.3 следует, что A = U \ A. Рис. 5.
2.2.2 Свойства операций над множествами
Теоpема 2.2.1 (Свойства операций над множествами) Пусть A,
B, C — произвольные подмножества универсального множества
U . Тогда справедливы следующие утверждения:
1. A ∩ A = A,
— свойства идемпотентности
2. A ∪ A = A,
3. A ∩ B = B ∩ A,
— свойства коммутативности
4. A ∪ B = B ∪ A,
5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,
— свойства ассоциативности
6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,
7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
— свойства дистрибутивности
8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
9. (A ∩ B) = A ∪ B,
— свойства де Моргана
10. (A ∪ B) = A ∩ B,
11. A ∩ (A ∪ B) = A,
— свойства поглощения
12. A ∪ (A ∩ B) = A,
13. A = A, — свойство двойного дополнения
14. A \ B = A ∩ B,
15. A ∩ U = A,
16. A ∪ U = U,
17. A ∩ ∅ = ∅,
42
18. A ∪ ∅ = A,
19. A ∩ A = ∅,
20. A ∪ A = U,
21. U = ∅,
22. ∅ = U.
Доказательство каждого равенства основывается на определении
равенства множеств. Заметим, что основные свойства операций над
множествами аналогичны свойствам логических операций, поэтому
доказательства равенств 1–13 осуществляются с использованием
соответствующих равносильностей из теоремы 1.1.3. Докажем,
например, равенство 8). Пусть x — произвольный элемент множества
A ∪ (B ∩ C). Тогда
x ∈ A ∪ (B ∩ C)≡(x ∈ A) ∨ (x ∈ B ∩ C)≡
(x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)≡((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C))≡
(x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C)≡x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Поясним доказательство. Сначала мы воспользовались определением
объединения множеств (первая равносильность), затем — определением
пересечения множеств (вторая равносильность), потом применили
свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции
(третья равносильность), далее использовали определение объединения
множеств (четвертая равносильность) и в конце — определение
пересечения множеств (пятая равносильность). Таким образом, мы
доказали, что x ∈ A ∪ (B ∩ C) ≡ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Это означает, что
A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) и (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C), то
есть A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Доказательство равенства 14) более короткое:
x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ x ∈ A ∩ B.
/
Равенства 15–18 доказываются с использованием соответствующих
равносильностей 20–23 из теоремы 1.1.3. Докажем, например, равенства
15 и 16.
x ∈ A ∩ U ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ U ) ≡ (x ∈ A) ∧ И ≡ x ∈ A,
43
x ∈ A ∪ ∅ ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ ∅) ≡ (x ∈ A) ∨ Л ≡ x ∈ A.
Объяснение: