Question

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Площадь осевого сечения конуса равна 36√3. Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, полагая π=3.

Answer 1

Ответ:

1728 кв. ед. - площадь поверхности шара.

Объяснение:

Рассмотрим осевое сечение: равнобедренный треугольник АВС вписан  в круг.

По условию сказано, что образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Площадь осевого сечения равна 36√3 кв. ед.

Пусть радиус основания конуса будет r, то есть АО=ОС =r.

Рассмотрим Δ АОВ - прямоугольный.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

$tg30^{0} =\dfrac{BO}{AO} ;\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3} } =\dfrac{BO}{r} ;\\\\BO= \dfrac{r}{\sqrt{3} }$

Тогда площадь равнобедренного треугольника АВС определим как полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AC\cdot BO;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 2r\cdot \dfrac{r}{\sqrt{3} } =\dfrac{r^{2} }{\sqrt{3} }$

Тогда

$\dfrac{r^{2} }{\sqrt{3} }=36\sqrt{3} ;\\\\r^{2} =36\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} ;\\r^{2} =36\cdot3;\\r=\sqrt{36\cdot3};\\r=6\sqrt{3}$

Тогда сторона АС = 12√3

Сумма углов треугольника равна 180 °. Если ∠А=∠С= 30°,

то ∠В= 180°-(30°+30°)=180°-60°=120°.

Радиус шара - это радиус окружности, описанной около ΔАВС.

Радиус окружности, описанной около треугольника определяется по формуле

$R= \dfrac{a}{2sin\alpha } ,$

где a- сторона теугольника,  α - противолежащий к стороне угол.

$R= \dfrac{AC }{2 sin B} ;\\\\R= \dfrac{12\sqrt{3} }{2\cdot sin 120^{0} } = \dfrac{12\sqrt{3} }{2\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} } =\dfrac{12\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =12$

Значит, радиус шара равен 12 ед.

Найдем площадь поверхности шара по формуле:

$S=4\pi R^{2} ;\\S=4\pi\cdot 12^{2} =4\pi\cdot 144=576\pi$ кв. ед.

Если π = 3, то

$S= 576\cdot3=1728$ кв. ед.