Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

По определению:

Числовую последовательность $(a_{n})$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что для любого $n \in \mathbb N$ выполняется неравенство $a_{n} \leq C$.

(Определение через кванторы: $\exists C \in X \forall n \in \mathbb N:x_{n} \leq C$)

То есть необходимо найти такое число $C$, чтобы выполнялось неравенство $a_{n} \leq C$ и эти доказать, что последовательность ограниченна сверху.

32.8

1) $a_{n} = 12 - n^{2}$

Проанализируем выражение $12 - n^{2}$. От числа 12 отнимается какое-то целое положительное число и с увеличением $n$ это число возрастает. Тогда можно предположить, что число 12 удовлетворяет условию: $a_{n} \leq C$, где $C = 12$. Докажем данное утверждение.

$a_{n} \leq 12$

$12 - n^{2} \leq 12$

$n^{2} \geq 0$ при $n \in \mathbb N$, то есть доказано, что последовательность $a_{n}$ является ограниченное сверху.

2) $a_{n} = -n^{2} + 2n - 4$

Преобразуем последовательность:

$a_{n} = -n^{2} + 2n - 4 = - (n^{2} - 2n + 4) = - (n^{2} - 2n + 1 + 3) =$

$= -((n - 1)^{2} + 3) = -(n - 1)^{2} - 3$

Можно предположить, что максимальный элемент последовательности это первый, то есть

$n = 1:a_{1} = -(1 - 1)^{2} - 3 = -0 -3 =-3$

Тогда можно предположить, что число -3 удовлетворяет условию: $a_{n} \leq C$, где $C = -3$. Докажем данное утверждение.

$a_{n} \leq -3$

$-n^{2} + 2n - 4 \leq -3$

$n^{2} -2n + 1 \geq 0$

$(n - 1)^{2} \geq 0$ при $n \in \mathbb N$, то есть доказано, что последовательность $a_{n}$ является ограниченное сверху.

3) $a_{n} = \dfrac{4n}{n^{2} + 1}$

Докажем, что последовательность $a_{n}$ является возрастающей, то есть верно утверждение, что  $a_{n} < a_{n+ 1}$ для $n \in \mathbb N$.

$a_{n +1} = \dfrac{4(n + 1)}{(n + 1)^{2} + 1} = \dfrac{4(n + 1)}{n^{2} + 2n + 1 + 1} = \dfrac{4(n + 1)}{n^{2} + 2n + 2}$

$a_{n} < a_{n+ 1}$

$\dfrac{4n}{n^{2} + 1} < \dfrac{4(n + 1)}{n^{2} + 2n + 2} \bigg| \cdot (n^{2} + 1)(n^{2} + 2n + 2)$

$4n(n^{2} + 2n + 2) < 4(n + 1)(n^{2} + 1)|:4$

$n(n^{2} + 2n + 2) < (n + 1)(n^{2} + 1)$

$n^{3} + 2n^{2} + 2n < n^{2} + n + n^{2} + 1$

$n^{3} + 2n^{2} + 2n < 2n^{2} + n + 1$

$n^{3} + n - 1 < 0$ - данное неравенство свидетельствует о том, что гипотеза оказалась неверное. Модифицируем гипотезу и докажем, что последовательность является невозрастающей, то есть что

$a_{n} \geq a_{n + 1}$, что с учетом выше сделанных преобразований можно записать в виде неравенства $n^{3} + n - 1 \geq 0$, что нужно доказать.

Преобразуем полином $n^{3} + n - 1:$

$n^{3} + n - 1 = n^{3} - 1 + n = (n - 1)(n^{2} + n + 1) + n$

$\underbrace{(n - 1)}_{\geq 0;n \in \mathbb N} \underbrace{ (n^{2} + n + 1)}_{\geq 0;n \in \mathbb N} + \underbrace{n}_{\geq 0;n \in \mathbb N} \geq 0$

То есть доказано, что последовательность $a_{n}$ является невозрастающей.

Найдем первый элемент последовательности $a_{n}$.

$n = 1: a_{1} = \dfrac{4 \cdot 1}{1^{2} + 1} = \dfrac{4}{1 +1} = \dfrac{4}{2} = 2$.

То есть так как последовательность является невозрастающей,

то можно сделать гипотезу, что что число 2 удовлетворяет условию: $a_{n} \leq C$, где $C = 2$. Докажем данное утверждение.

$a_{n} \leq 2$

$\dfrac{4n}{n^{2} + 1} \leq 2$

$\dfrac{4n}{n^{2} + 1} \leq 2 | \cdot (n^{2} + 1)$

$4n \leq 2n^{2} + 2|:2$

$2n \leq n^{2} + 1$

$n^{2} - 2n + 1 \geq 0$

$(n - 1)^{2} \geq 0$ при $n \in \mathbb N$, то есть доказано, что последовательность $a_{n}$ является ограниченное сверху.

4) $a_{n} = \dfrac{2n + 7}{n +2}$

Преобразуем последовательность $a_{n}$:

$a_{n} = \dfrac{2n + 7}{n +2} = \dfrac{\dfrac{2n + 7}{n} }{\dfrac{n +2}{n} } = \dfrac{\dfrac{2n }{n} + \dfrac{7}{n} }{\dfrac{n }{n} + \dfrac{2}{n} } = \dfrac{2 + \dfrac{7}{n} }{1 + \dfrac{2}{n} }$

С увеличением числа $n$ дроби $\dfrac{7}{n}$ и $\dfrac{2}{n}$  уменьшаются, так как $n$ стоит в знаменателе, тогда можно предположить, что число $a_{1}$ удовлетворяет условию: $a_{n} \leq C$, где $C = a_{1}$. Докажем данное утверждение.

$n = 1:a_{1} = \dfrac{2 \cdot 1 + 7}{1 +2} = \dfrac{2 + 7}{3} = \dfrac{9}{3} = 3$

$a_{n} \leq 3$

$\dfrac{2n + 7}{n +2} \leq 3 | \cdot (n + 2)$

$2n + 7 \leq 3(n + 2)$

$2n + 7 \leq 3n + 6$

$n - 1 \geq 0$

$n \geq 1$ при $n \in \mathbb N$, то есть доказано, что последовательность $a_{n}$ является ограниченное сверху.

Продолжение решения смотрите на фотографиях!!!