Question

Задание приложено...

Answer 1

Ответ:

По определению:

Числовую последовательность $(a_{n})$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $c$, что для любого  выполняется $n \in \mathbb N$неравенство $a_{n} \geq c$.

(Определение через кванторы: $\exists c\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant c$)

То есть необходимо найти такое число $c$, чтобы выполнялось неравенство $a_{n} \geq c$ и этим доказывается по определению, что последовательность ограниченна снизу.

32.9

1) $a_{n} = n^{3} - 8n$

Найдем первый элемент последовательности $a_{n}:$

$n = 1: a_{1} = 1^{3} - 8 \cdot 1 = 1 - 8 =-7$

Можно сделать гипотезу, что что число -7 удовлетворяет условию: $a_{n} \geq c$, где $c = -7$. Докажем данное утверждение.

$a_{n} \geq -7$

$n^{3} - 8n \geq -7$

$n^{3} - 8n +7 \geq 0$

Так как $n^{3} \geq n^{2}$ при $n \in \mathbb N$, то доказав данное неравенство при $n^{2}$ вместо $n^{3}$ докажем более сильное утверждение, тогда и при $n^{3}$ неравенство также будет выполнятся, то есть необходимо доказать, что $n^{2} - 8n +7 \geq 0$.

Так как число $c$ может быть произвольным, то можем взять число -16, так как если при -16 верно, то и при большем $c$ также верно по свойству транзитивности, то есть при -7.

Тогда с учетом всех модификаций необходимо доказать неравенство: $n^{2} - 8n + 16 \geq 0$

$(n - 4)^{2} \geq 0$ при $n \geq 4$ и теперь необходимо доказать, что $-7 \leq a_{2}$

и $-7 \leq a_{3}$

$n = 2: a_{2} = 2^{3} - 8 \cdot 2 = 8 - 16 = -8 < -7$

$n = 3: a_{3} = 3^{3} - 8 \cdot 3 = 27 - 24 = 3 > -7$

Тогда если $c = -8$, то все предыдущие условие будут выполняться, то есть при $n \in \mathbb N$ доказано, что последовательность $(a_{n})$ является ограниченной снизу.

2) $a_{n} = \dfrac{1 - 2n}{n}$

Преобразуем последовательность $a_{n}$:

$a_{n} = \dfrac{1 - 2n}{n} = \dfrac{1 }{n} - \dfrac{2n}{n}= \dfrac{1}{n} - 2$

К числу $-2$ каждый раз добавляется какое-то число $\dfrac{1}{n} > 0$, поэтому можно предположить, что что число -2 удовлетворяет условию:

$a_{n} \geq c$, где $c = -2$. Докажем данное утверждение.

$a_{n} \geq -2$

$\dfrac{1 - 2n}{n} \geq -2 | \cdot n$

$1 - 2n \geq -2n$

$1 \geq 0$

То есть при $n \in \mathbb N$ доказано, что последовательность $(a_{n})$ является ограниченной снизу.