Question

Задание приложено...

Answer 1

Примечание:

По определению:

Числовую последовательность $(a_{n})$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $c$, что для любого $n \in \mathbb N$ выполняется неравенство $a_{n} \geq c$.

(Определение через кванторы: $\exists c \in X \ \forall n \in \mathbb N: x_{n}\geq c$)

Числовую последовательность $(a_{n})$ называют ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что для любого $n \in \mathbb N$ выполняется неравенство $a_{n} \leq C$.

(Определение через кванторы: $\exists C \in X \ \forall n \in \mathbb N:x_{n} \leq C$)

Ответ:

Рассмотрим последовательность $|a_{n}|$. Так как каждый элемент последовательности взят по модулю, то $\forall |a_{n}|\geq 0$, то есть по определению последовательность ограниченна снизу числом 0.

Так как по условию $\displaystyle \left \{ {{M > 0} \atop {M \geq |a_{n}|}} \right.$, то по определению последовательность ограниченна сверху, то есть последовательность элементов $|a_{n}|$ по определению является ограниченной.

Если $\forall a_{n} \geq 0$, то все предыдущие рассуждения верны и последовательность является ограниченной.

Если $\forall a_{n} \leq 0$, то в выражение $M \geq |a_{n}|$, можно раскрыть модуль и тогда $M \geq -a_{n} \Longleftrightarrow a_{n} \geq -M$, то есть данная последовательность ограниченна снизу числом $-M < 0$ (так как по условию $M > 0$), а сверху числом 0.

Если в последовательность входят произвольные по знаку $a_{n}$, то положительные будут ограниченны сверху числом $M$ по определению, а отрицательные снизу числом $-M$, это можно обосновать рассмотрев подпоследовательности от $a_{k} < 0$ до нуля и от нуля до $a_{m} > 0$,то есть по-сути последовательность разбивается на 2 подпоследовательности и потом для каждой из них доказывается из верного утверждения, что  $\displaystyle \left \{ {{M > 0} \atop {M \geq |a_{n}|}} \right.$, что последовательность ограниченна снизу число $-M$, а сверху числом $M$.