Question

Помогите решить пожалуйста, Вычислить определенный интеграл, методом по частям, только не photomatch!! прошу

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{e}_{1} {(x + 1) \ln x} \, dx = \dfrac{e^{2} + 5}{4} }}$

Примечание:

Интегрирование по частям:

$\boxed{\displaystyle \int u \ dv = uv - \int v \ du}$

По таблице интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int x^{n} \, dx= \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq - 1; x > 0 }$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{e}_{1} {(x + 1) \ln x} \, dx = \dfrac{e^{2} + 5}{4}$

Рассмотрим неопределенный интеграл вида:

$\displaystyle \int {(x + 1) \ln x} \, dx \ - \ (*)$

Применим к интегралу $(*)$ метод интегрирования по частям:

--------------------------------------------------------------------------------------------

$u = \ln x; du = d(\ln x ) \ dx = \dfrac{dx}{x}$

$dv = (x + 1)\ dx; \displaystyle \int 1 \cdot dv = \int (x + 1)\ dx \Longrightarrow \boxed{v = \frac{x^{2}}{2} + x }$

---------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int {(x + 1) \ln x} \, dx = \ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \int \bigg( \dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg)\cdot \dfrac{dx}{x} =$

$\displaystyle = \ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \int x \bigg( \dfrac{x}{2} + 1\bigg)\cdot \dfrac{dx}{x} =\ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \int \bigg( \dfrac{x}{2} + 1\bigg)\ dx=$

$= \ln x \bigg (\dfrac{x^{2}}{2} + x \bigg) - \bigg (\dfrac{x^{2} }{4}+x \bigg) + C = x\ln x \bigg (\dfrac{x}{2} + 1 \bigg) - x \bigg (\dfrac{x }{4}+1 \bigg) + C =$

$= x \bigg( \ln x \bigg (\dfrac{x}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{x }{4}+1 \bigg) \bigg) + C$

Вычислим определенный интеграл:

$\displaystyle \int\limits^{e}_{1} {(x + 1) \ln x} \, dx = x \bigg( \ln x \bigg (\dfrac{x}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{x }{4}+1 \bigg) \bigg) \bigg| _1^e =$

$= e \bigg( \ln e \bigg (\dfrac{e}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{e}{4}+1 \bigg) \bigg) - \bigg( 1 \bigg( \ln 1 \bigg (\dfrac{1}{2} + 1 \bigg) - \bigg (\dfrac{1 }{4}+1 \bigg) \bigg) \bigg) =$

$= \dfrac{e^{2} + 5}{4}$