Question

1) В параллелограмме АБСД высоты равны 8 см и 12 см. Углы параллелограмма относятся , как 1:5. Найдите площадь фигуры.

2) Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор радиуса 8 и дугой 270°. В этот конус вписан шар. Найдите радиус шара.

Answer 1

Ответ:

1) Площадь фигуры равна 192 см².

2) Радиус шара равен $\displaystyle 6\sqrt{\frac{1}{7} }$ ед.

Объяснение:

1) Требуется найти площадь фигуры.

2) Найти радиус шара.

1)

Дано: АВСD - параллелограмм;

ВО = 8 см; ВР = 12 см - высоты;

∠А : ∠В = 1 : 5.

Найти: S (АВСD)

Решение:

1. ∠А + ∠В = 180° (односторонние при AD || BC и секущей АВ)

∠А : ∠В = 1 : 5

Пусть ∠А = х; тогда ∠В = 5х.

х + 5х = 180°

х = 30°

⇒ ∠А = 30°; ∠В = 150°

2. Рассмотрим ΔАВО - прямоугольный.

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ АВ = 2 ВО = 16 см.

3. Рассмотрим ΔРВС - прямоугольный.

• Противоположные углы параллелограмма равны.

⇒ ∠С = ∠А = 30°.

ВС = 2 ВР = 24 см.

4. Площадь параллелограмма найдем по формуле:

S = ab·sinα, где a и b - стороны, α - угол между ними.

S (АВСD) = АВ · AD · sin 30° = 16 · 24 ·0,5 = 192 (см²)

Площадь фигуры равна 192 см².

2)

Дано: конус;

Развертка - сектор;

AB = 8 - радиус сектора;

Дуга сектора = 270°.

Вписан шар в конус.

Найти: R шара.

Решение:

1. Найдем длину окружности конуса.

Она будет равна длине дуги сектора:

$\displaystyle \boxed { l=\frac{\pi rn}{180^0}}$ , где r - радиус сектора, n - градусная мера дуги сектора.

$\displaystyle l=\frac{\pi \cdot8\cdot270^0}{180^0} =12\pi _{}$

2. Найдем радиус основания конуса.

Длина окружности равна:

$\displaystyle \boxed { L=2\pi R }$

$\displaystyle 12\pi =2\pi R\\\\2R=12\\\\R=6$

3. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

АВ = ВС = 8

АС = 2R = 12

4. Найдем радиус шара.

Радиус шара будет равен радиусу вписанной Окр.К в ΔАВС.

$\displaystyle \boxed {R=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} } }$ , где a, b, c - стороны треугольника, р - полупериметр.

р = (8 + 8 + 12) : 2 = 14

$\displaystyle R=\sqrt{\frac{(14-8)(14-8)(14-12)}{14} } =6\sqrt{\frac{1}{7} } =\frac{6\sqrt{7} }{7}$

Радиус шара равен $\displaystyle 6\sqrt{\frac{1}{7} }$ ед.