Question

Задан прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С прямой, угол В =42 градуса и АС =12. На катите АС как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности которая находится вне треугольника и отсекается гипотенузой АВ

Answer 1

Ответ:

Длина дуги окружности равна 2,8π

Объяснение:

Дано: прямоугольный △ABC(∠C=90°), ∠B = 42° и AC = 12.

На катете AC как на диаметре построена окружность с центром в точке О.

Найти: длину дуги АН.

• Для нахождения длины дуги окружности необходимо использовать формулу:

$l = \dfrac{\pi R}{180^\circ} \times \alpha$

где R - радиус окружности, α - центральный угол, который опирается на эту дугу.

Радиус окружности равен половине диаметра: R=½•AC=½•12=6 ед.

На дугу АН опирается центральный угол АОН.

• Центральный угол - это угол, образованный двумя радиусами, вершина которого лежит в центре окружности.

Найдём ∠АОН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (∠С=90°)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

∠ВАС=90°-∠B=90°-42°=48°.

Точка Н лежит на окружности с диаметром АС, поэтому ∠АНС=90°,как угол, опирающийся на диаметр. Рассмотрим прямоугольный треугольник △АНС.

∠АСН=90°-∠ВАС=90°-48°=42°.

∠АСН - вписанный угол, опирающийся на дугу АН.

• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следовательно ∠АОН=2×∠АСН=2×42°=84°.

Тогда длина дуги АН:

$l = \frac{\pi \times 6}{180^\circ} \times 84^\circ = 2, 8\pi$