Question

Необходимо доказать тождество.

(От учителя есть подсказка: сгруппируйте в числителе и знаменателе дроби 1 и 3 слагаемые, $\frac{(sin4\alpha + sin5\alpha + sin6\alpha)}{(cos4\alpha + cos5\alpha + cos6\alpha )} = tg5\alpha$
примените соответствующие формулы).

Answer 1

Доказательство:

$\frac{sin4a+sin5a+sin6a}{cos4a+cos5a+cos6a}=tg5a\\\\\frac{(sin4a+sin6a)+sin5a}{(cos4a+cos6a)+cos5a}=tg5a\\\\\frac{2sin\frac{4a+6a}{2}cos\frac{6a-4a}{2}+sin5a}{2cos\frac{4a+6a}{2}cos\frac{6a-4a}{2}+cos5a}=tg5a\\\\\frac{2sin5acosa+sin5a}{2cos5acosa+cos5a}=tg5a\\\\\frac{sin5a(2cosa+1)}{cos5a(2cosa+1)}=tg5a\\\\\frac{sin5a}{cos5a}=tg5a\\\\tg5a=tg5a$

Что и требовалось доказать

Формулы для решения - сумма синусов и сумма косинусов:

$sina+sin\beta=2sin\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}\\\\cosa+cos\beta=2cos\frac{a+\beta}{2}cos\frac{a-\beta}{2}$