Question

Задана трапеция ABCD с основаниями BC = 25, AD = 45. Параллельно основаниям трапеции провели прямую MN, которая пересекает стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Найдите длину MN, если CN : ND = 4 : 1.

Answer 1

Задана трапеция ABCD с основаниями BC = 25, AD = 45. Параллельно основаниям трапеции провели прямую MN, которая пересекает стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Найдите длину MN, если CN : ND = 4 : 1.

Ответ:

Длина MN=41 ед.

Объяснение:

ABCD - трапеция, AD и BC - её основания. MN II AD II BC.

CN : ND = 4 : 1.

1)Боковые стороны трапеции пересекаются в точке Р. По теореме о пропорциональных отрезках, параллельные прямые AD, MN, BC, пересекающие стороны ∠Р отсекают от его сторон пропорциональные отрезки, поэтому:

$\dfrac{BM}{MA} = \dfrac{CN}{ND} = \dfrac{4}{1}$

2) △KCN подобен △ACD (по двум углам - первый признак подобия) : ∠С - общий, ∠CNK=∠CDA - как внутренние односторонние углы при параллельных прямых MN и AD и секущей CD.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

$\frac{CN}{CD} = \frac{KN}{AD} \\ \\ \frac{4}{5} = \frac{KN}{45} \\ \\ KN = \frac{45 \times 4}{5}$

KN=36ед

3) △AMK подобен △ABC (по двум углам - первый признак подобия) : ∠A - общий, ∠AMK=∠ABC - как внутренние односторонние углы при параллельных прямых MN и BC и секущей AB.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:

$\frac{AM}{AB} = \frac{MK}{BC} \\ \\ \frac{1}{5} = \frac{MK}{25} \\ \\ MK = \frac{25}{5}$

MK=5ед

4) MN=MK+KN=36+5=41ед.