Увлекшись бегом трусцой, Ярослав Борисович подговорил своего друга Игната
Михайловича совершать небольшие пробежки по периметру круглого стадиона гимназии
№ 2022. Во время одной такой пробежки они заметили, что бегают они всегда равномерно
и в одном направлении, причем Ярослав Борисович пробегает полный круг на 3 минуты
быстрее, чем Игнат Михайлович. Время между их последовательными встречами равно
18 минутам. Определите время, за которое Ярослав Борисович пробегает один круг. Ответ
обоснуйте.
Ответы
Ответ:
Ярослав Борисович пробегает один круг за 6 минут.
Пошаговое объяснение:
Пусть Ярослав Борисович пробегает один круг за T минут, а Игнат Михайлович за P
Ярослав Борисович пробегает полный круг на 3 минуты быстрее, чем Игнат Михайлович - значит T=P-3
Время между их последовательными встречами равно 18 минутам - допустим, что за это время Игнат Михайлович пробежал K кругов, тогда Ярослав Борисович пробегает на 1 круг больше, чем Игнат Михайлович, то есть Ярослав Борисович пробежит K+1 круг.
Время, которое уйдет на K кругов у Игнат Михайлович, равно K*P,
Время, которое уйдет на K+1 кругов у Ярослав Борисович, равно (K+1)*T. И известно, что это время = 18 минут. Значит
K*P=18
(K+1)*T=18
(K+1)=18/T
K=18/T-1=18/P. При этом T=P-3 - подставим это выражение в последнее уравнение
18/(P-3)-1=18/P - умножим уравнение на P(P-3):
18P-P(P-3)=18(P-3)
P²-3P-54=0
Единственным положительным корнем является P=9 (отрицательного времени не может быть)
Тогда T=P-3=9-3=6 минут.
Проверка:
Тогда K=18/P=18/9=2 - два круга пробегает Игнат Михайлович за 18 минут.
(K+1)*T=(2+1)*6=18 - Ярослав Борисович за эти же 18 минут пробегает 3 круга (значит встретит Игнат Михайловича). Все условия выполнены.