Question

Докажите, что число $\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{35-8\sqrt{19}}}$ является целым.

Answer 1

Формула квадрата разности:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Свойство квадратного корня:

$\sqrt{a^2} =|a|$

Преобразуем выражение:

$\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{35-8\sqrt{19}}}}=$

$=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{19-2\cdot\sqrt{19}\cdot4+16}}}=$

$=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{(\sqrt{19} )^2-2\cdot\sqrt{19}\cdot4+4^2}}}=$

$=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{\left(\sqrt{19}-4\right)^2}}}=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\left|\sqrt{19}-4\right|}}=$

$=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\left(\sqrt{19}-4\right)}}=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{3-8\sqrt{19}+32\right)}}=$

$=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{35-8\sqrt{19}\right)}}\ \boxed{=}$

Выше было установлено, что $\sqrt{35-8\sqrt{19}}=\sqrt{19} -4$:

$\boxed{=}\ \sqrt{\sqrt{19}-\left(\sqrt{19}-4\right)}=\sqrt{\sqrt{19}-\sqrt{19}+4}=\sqrt{4} =2\in\mathbb{Z}$