Question

при каком значение k, корни уравнения
$\frac{3x + 2}{4x - 3} = k + 2$
будут меньше одного?
​

помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

k ∈ (-oo; -5/4) U (3; +oo)

Пошаговое объяснение:

$\frac{3x+2}{4x-3}=k+2$

Область определения: 4x - 3 ≠ 0; x ≠ 3/4

$\frac{3x+2}{4x-3}-(k+2)=0$

$\frac{3x+2-(4x-3)(k+2)}{4x-3}=0$

Если дробь равна 0, то числитель равен 0

3x + 2 - (4kx - 3k + 8x - 6) = 0

3x + 2 - 4kx + 3k - 8x + 6 = 0

(-4k - 5)x + (3k + 8) = 0

3k + 8 = (4k + 5)x

x = (3k + 8)/(4k + 5)

Проверим, чему не может быть равно k по области определения:

(3k + 8)/(4k + 5) ≠ 3/4

4(3k + 8) ≠ 3(4k + 5)

12k + 32 ≠ 12k + 15

32 ≠ 15

Это выполнено при любых k. За это можно не волноваться.

По условию x < 1:

(3k + 8)/(4k + 5) < 1

1) Левая часть меньше 0, тогда она уж точно меньше 1:

(3k + 8)/(4k + 5) < 0

По методу интервалов:

k ∈ (-8/3; -5/4)

2) Левая часть больше 0, но меньше 1:

0 < (3k + 8)/(4k + 5) < 1

(3k + 8)/(4k + 5) - 1  < 0

(3k + 8 - 4k - 5)/(4k + 5) < 0

(3 - k)/(4k + 5) < 0

По методу интервалов:

k ∈ (-oo; -5/4) U (3; +oo)

Из 1 варианта мы получили промежуток:

k ∈ (-8/3; -5/4)

Проверим, что будет во 2 варианте при k = -8/3:

$\frac{3x+2}{4x-3}=-8/3 + 2$

$\frac{3x+2}{4x-3}=-2/3$

$\frac{3x+2}{4x-3} + 2/3=0$

$\frac{3(3x+2)+2(4x-3)}{3(4x-3)}=0$

9x + 6 + 8x - 6 = 0

17x = 0

x = 0 < 1 - подходит.

Значит, окончательный ответ:

k ∈ (-oo; -5/4) U (3; +oo)