Question

Добрый день, помогите пожалуйста найти определённый интеграл "СРОЧНО".

Answer 1

Ответ:

Метод замены переменной .

$\displaystyle \int\limits_{2\sqrt3}^6\, \dfrac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}=\Big[\ x=\frac{3}{sint}\ ,\ dx=-\frac{3cost}{sin^2t}\, dt\ ,\ t=arcsin\frac{3}{x}\ ,\\\\\\t(6)=arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}\ ,\ t(2\sqrt3)=arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}\ \Big]=$

$\displaystyle =\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\, \dfrac{-3\, cost\, dt}{sin^2t\cdot \dfrac{9}{sin^2t}\sqrt{\dfrac{9}{sin^2t}-9}}=\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\ \dfrac{-3\, cost\, dt}{9\cdot \sqrt{9\cdot \Big(\dfrac{1}{sin^2t}-1\Big)}}=\\\\\\=\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\, \dfrac{-cost\, dt}{3\sqrt{9\cdot ctg^2t}}=\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\, \dfrac{-cost\, dt}{3\cdot 3\cdot ctgt}=\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\, \dfrac{-cost\, dt}{3\cdot 3\cdot \dfrac{cost}{sint}}=$

$\displaystyle =\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\, \dfrac{-cost\cdot sint\, dt}{9\cdot cost}=-\frac{1}{9}\int\limits_{\pi /3}^{\pi /6}\, sint\, dt\, =\frac{1}{9}\, cost\, \Big|_{\pi /3}^{\pi /6}=\\\\\\=\frac{1}{9}\cdot \Big(cos\frac{\pi}{6}-cos\frac{\pi}{3}\Big)=\frac{1}{9}\cdot \Big(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}\Big)=\frac{\sqrt3-1}{18}$