Периметр прямоугольной области равен 64. Найдите ширину и длину прямоугольника так, чтобы его площадь была наибольшей.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
I. Наиболее краткий вариант решения (1-6 класс)
"Краткость - сестра таланта"
Наибольшая площадь прямоугольника заданного периметра будет если прямоугольник является квадратом , это общеизвестный факт, можно его принять на веру и продолжить, либо проверить экспериментально, но если требуется обоснование то см. второй и третий варианты решения.
Пусть а - сторона квадрата
по формуле периметра квадрата Р=4a=64
a=64/4=16
так как у квадрата длина равна ширине то ширина также будет равна 16
Ответ Длина равна 16 и ширина равна 16
II. Вариант решения с помощью выделения полного квадрата (8-9 класс)
(не очень краткий)
"Тише едешь - дальше будешь"
Пусть х - длина , у- ширина прямоугольника
тогда по формуле периметра прямоугольника
P=2(x+y)=64
у=64:2-х=32-х
Площадь равна S=xy=x(32-x)=32x-x²
S=-x²+32x=-x²+2*16x-16²+16²=16²-(x-16)²
очевидно что максимальное значение этого выражения (площади) будет при х=16
тогда у=32-х=16
Ответ Длина 16 и ширина 16
III Вариант решения с помощью производной (10 класс и далее)
этот вариант тоже не очень краткий и требует знания высшей математики в частности Начал Анализа
"Чем дальше в лес тем больше дров..."
Начало так же, как в пункте II до того момента как получим формулу площади
Пусть х - длина , у- ширина прямоугольника
тогда тогда по формуле периметра прямоугольника
P=2(x+y)=64
у=64:2-х=32-х
Площадь равна S=xy=x(32-x)=32x-x²
S=32x-x²
С этого момента не так как в пункте II
Найдем производную площади
S'=32-2x=0
x=32/2=16
при х<16 S'>0
при х>16 S'<0
в точке х=16 производная меняет знак с плюса на минус ⇒ в точке х=16 максимум S
х=16 тогда у=32-х=16
Ответ Длина 16 и ширина 16