Question

решить уравнение
$2 \sin^2x - 3 \cos2x + 6 = 9$
​

Answer 1

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2\alpha =1-2\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$2 \sin^2x - 3 \cos2x + 6 = 9$

$2 \sin^2x - 3( 1-2\sin^2x) + 6 = 9$

$2 \sin^2x - 3+6\sin^2x + 6 = 9$

$2 \sin^2x +6\sin^2x= 9+3-6$

$8\sin^2x= 6$

$4\sin^2x= 3$

$\sin^2x= \dfrac{3}{4}$

$\sin x=\pm \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Можно рассмотреть уравнения по отдельности:

$\sin x= \dfrac{\sqrt{3} }{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi }{3} +2\pi n;\ x=\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n$

$\sin x=- \dfrac{\sqrt{3} }{2}\Rightarrow x=-\dfrac{\pi }{3} +2\pi n;\ x=-\dfrac{2\pi }{3} +2\pi n$

Тогда, можно записать короче:

$x=\pm \dfrac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \dfrac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$