Question

Найдите все четверки простых чисел p, q, r и s, для которых: 3p+3pq+4pqr+5pqrs = 2022. ​

Answer 1

Ответ:

p=3,q=11,r=2, s=5 - решение

Пошаговое объяснение:

3p+3pq+4pqr+5pqrs = 2022

p(3+3q+4qr+5qrs) = 2*3*337 (2,3, 337 - простые числа)

значит р=2 либо р=3 либо р= 337

так как каждое простое число не меньше 2, то

3+3q+4qr+5qrs >=3+3*2+4*2*2+5*2*2*2=3+6+16+40=65,

а значит р не может быть равным 337, иначе 3+3q+4qr+5qrs =6, что невозможно

если p=2 (случай 1), то 3+3q+4qr+5qrs=3*337=1011, 3q+4qr+5qrs=1011-3=1008

3q+4qr+5qrs=1008

q(3+4r+5rs)=2*3*3*7*2*2*2

откуда q=2, 3+4r+5rs=504 (2-1)

4r+5rs=504-3=501

r(4+5s)=3*167 (4+5s>=4>3)

r=3, 4+5s=167, 5s=167-4=163 - невозможно

q=3, 3+4r+5rs=336 (2-2)

4r+5rs=336-3=333

r(4+5s)=3*3*37 (4+5s>=4>3)

r=3, 4+5s=111, 5s=111-4=107  - невозможно

q=7, 3+4r+5rs=144 (2-3)

4r+5rs=144-3=141

r(4+5s)=3*47 (4+5s>=4>3)

r=3, 4+5s=47, 5s=47-4=43 - невозможно

если р=3 (случай 2), то 3+3q+4qr+5qrs=2*337=674, 3q+4qr+5qrs=674-3=671

3q+4qr+5qrs=671

q(3+4r+5rs)=11*61

откуда q=11, 3+4r+5rs=61  (3+4r+5rs>=3+4*2+5*2*2=3+8+20=31)

4r+5rs=61-3=58

r(4+5s)=2*29 (4+5s>=4>2)

=>r=2, 4+5s=29, 5s=29-4=25, s=5

p=3,q=11,r=2, s=5 - решение

(3*3+3*3*11+4*3*11*2+5*3*11*2*5=9+99+264+1650=2022)