Question

Вычислить интеграл, математический анализ, помогите!!

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits^1_0 {\frac{arcsinx}{\sqrt{x+1} } } \, dx .$

             Используем формулу интегрирования по частям:

                                 $\boxed {\int\limits {fg'} =fg-\int\limits {f'g} \, dx }$

$f=arcsinx\ \ \ \ \ \ g'=\frac{1}{\sqrt{x+1} } \ \ \ \ f'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2} } \\g=\int \frac{dx}{\sqrt{x+1} }=\int ({x+1)^{-\frac{1}{2} }dx} =\frac{1}{\frac{1}{2} } *(x+1)^{\frac{1}{2}} = 2*\sqrt{x+1}.\ \ \ \ \Rightarrow\\ \int\limits {\frac{arcsinx}{\sqrt{x+1} } } \, dx =*2*\sqrt{x+1}*arcsinx -\int\frac{2*\sqrt{x+1} }{\sqrt{1-x^2} }dx.$

$\int\frac{\sqrt{x+1} }{\sqrt{1-x^2} }dx=\int\frac{\sqrt{1+x} }{\sqrt{(1+x)(1-x)} } dx=\int(-\frac{d(1-x) }{\sqrt{1-x} }) =-\int(1-x)^{-\frac{1}{2}}dx=-2*\sqrt{1-x}.\ \ \ \ \Rightarrow$

$\int\limits^1_0 {\frac{arcsinx}{\sqrt{x+1} } } \, dx =(2*\sqrt{x+1}*arcsinx-(- 2*2*\sqrt{1-x} ))\ |_0^1=\\=2*\sqrt{1+1}* arcsin1+4*\sqrt{1-1} -(-2*\sqrt{0+1}*arcsin0+4*\sqrt{1-0})= \\=2*\sqrt{2}*\frac{\pi }{2} +4*0-(-2*1 *0+4*1)=\sqrt{2} \pi -4 .$

$OTBET:\ \int\limits^1_0 {\frac{arcsinx}{\sqrt{x+1} } } \, dx =\sqrt{2}\pi -4.$