Question

Найти решение задачи Коши, используя метод операционного

исчисления​

Answer 1

Ответ:

$x(t)=4\cos{2t} + te^{2t} - \sin 2t$

Объяснение:

$x''+4x=(8t+4)e^{2t}$

$x := X(p)\\x' := pX(p)-x(0)=pX(p)-4\\x'' := p^2X(p)-px(0)-x'(0)=p^2X(p)-4p+1\\8te^{2t} = 8 \frac{1}{(p-2)^2} + 4 \frac{1}{p-2}$

Подставляем:

$X(p)(p^2+4)-4p+1=8\frac{1}{(p-2)^2}+4 \frac{1}{p-2}\\X(p)=\frac{8}{(p-2)^2(p^2+4)} + \frac{4}{(p-2)(p^2+4)} + \frac{4p-1}{p^2+4}=(\frac{p}{2(p^2+4)} - \frac{1}{2(p-2)} + \frac{1}{(p-2)^2})+(\frac{1}{2(p-2)} - \frac{p+2}{2(p^2+4)})+\frac{4p}{p^2+4}-\frac{1}{p^2+4} = 4 \frac{p}{p^2+4}+\frac{1}{(p-2)^2}-\frac{2}{p^2+4}$

Дроби были разложены методом неопределённых коэффициентов. Теперь находим оригиналы по таблице:
$x(t)=4\cos{2t} + te^{2t} - \sin 2t$