Question

[Высшая математика] Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2-18x+72$ и прямой $y=22x-18^2$. Выполнить рисунок.

Answer 1

Решение.

$\bf y=x^2-18x+72\ ,\ \ y=22x-18^2\ \ \to \ \ y=22x-324$

Вычисляем площадь области как разность площадей криволинейных трапеций .

Найдём точки пересечения графиков.

$\bf x^2-18x+72=22x-324\ \ ,\ \ \ x^2-40x+396=0\ \ ,\\\\D/4=4\ ,\ \ x_1=20-2=18\ ,\ \ x_2=20+2=22$

$\displaystyle \bf S=\int\limits_{18}^{22}\Big(22x-324-(x^2-18x+72)\Big)\, dx=\int\limits_{18}^{22}\, \Big(40x-x^2-396\Big)\, dx=\\\\\\=\Big(20x^2-\frac{x^3}{3}-396x\Big)\Big|_{18}^{22}=\\\\\\=20\cdot 22^2-\frac{22^3}{3}-396\cdot 22-\Big(20\cdot 18^2-\frac{18^3}{3}-396\cdot 18\Big)=\\\\\\=968-\frac{10648}{3}+648+\frac{5832}{3}=1616-\frac{4816}{3}=\frac{32}{3}$

Рисунок в связи с большими числами в записи уравнений нарисовать трудно .  Прямая отсекает от параболы некоторый сегмент, который проектируется на ось ох в отрезок [18;22] .