пожалуйста, помогите мне решить, нужно сдавать работу, а я все еще мучаюсь с этим примером. Буду очень благодарна!
Концами отрезка являются точки P(‒5;‒3) и Q(7;5). Найдите
координаты точек, которые делят его на четыре равные части.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости. Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, на плоскости Исходные данные: задана прямоугольная система координат O x y Oxy и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами A ( x A , y A ) A(xA,yA) и B ( x B , y B ) B(xB,yB) . А также задана точка С С, делящая отрезок А В АВ в отношении λ λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки С С: x C xC и y C yC . Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С С, делящая отрезок А В АВ в отношении λ λ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С С лежит на отрезке А В АВ (т.е. между точками А А и В В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков А С АС и С В СВ равно λ λ. Т.е. верно равенство: open A C | open C B | = λ ACCB=λ . В этом случае точка А А – начало отрезка, точка В В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С С делит в заданном отношении отрезок В А ВА, тогда верным было бы равенство: . Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1 λ = 1, то точка С С является серединой отрезка А В АВ. Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А А, В В и точку С С на отрезке А В АВ. Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы −−→ A C AC→ и −−→ C B CB→ . Согласно условиям задачи, точка С С делит отрезок А В АВ в отношении λ λ. Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: −−→ O A = ( x A , y A ) OA→=(xA, yA) и −−→ O B = ( x B , y B ) OB→= (xB , yB) . Определим координаты вектора : они будут равны координатам точки С С, которые и требуется найти по условию задачи. Используя операцию сложения векторов, запишем равенства: −−→ O C = −−→ O A + −−→ A C −−→ O B = −−→ O C + −−→ C B ⇔ −−→ C B = −−→ O B − −−→ O C OC→=OA→+AC→ OB→=OC→+CB→⇔CB→=OB→-OC→ По условию задачи точка С С делит отрезок А В АВ в отношении λ λ, т.е. верно равенство open A C | = λ ⋅ open C B | AC=λ·CB . Векторы −−→ A C AC→ и −−→ C B CB→ лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ > 0 λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим: −−→ A C = λ ⋅ −−→ C B AC →=λ·CB→ . Преобразуем выражение, подставив в него : −−→ C B = −−→ O B − −−→ O C CB→=OB→-OC→ . −−→ A C = λ ⋅ ( −−→ O B − −−→ O C ) AC→=λ·(OB→-OC→) . Равенство −−→ O C = −−→ O A + −−→ A C OC→=OA→+AC→ перепишем как −−→ O C = −−→ O A + λ ⋅ ( −−→ O B − −−→ O C ) OC→=OA→+λ·(OB→-OC→) . Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует: −−→ O C = 1 1 + λ ⋅ ( −−→ O A + λ ⋅ −−→ O B ) OC→=11+λ·(OA→+λ·OB→) . Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора −−→ O C = 1 1 + λ ⋅ ( −−→ O A + λ ⋅ −−→ O B ) OC→=11+λ·OA→+λ·OB→ . Выполним необходимые действия над векторами −−→ O A OA→ и −−→ O B OB→ . −−→ O A = ( x A , y A ) OA →=(xA