помогите, пожалуйста!!!
хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна 60 градусов. отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол 60 градусов. высота конуса равна √3. найдите объём конуса.
Ответы
Ответ:
Объем конуса равен ед.³
Объяснение:
Найти объем конуса.
Дано: Конус;
АВ - хорда основания;
◡АВ = 60°;
С - середина хорды АВ;
∠КСО = 60°;
КО = √3 - высота.
Найти: V конуса.
Решение:
Объем конуса найдем по формуле:
, где R - радиус основания; h - высота конуса.
h = KO = √3 (условие)
Необходимо найти радиус.
1. Рассмотрим ΔСКО - прямоугольный.
∠КСО = 60°
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠СКО = 90° - ∠КСО = 90° - 60° = 30°
- Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ КС = 2 СО
Пусть СО = х, тогда КС = 2х
По теореме Пифагора:
КС² = СО² + КО²
4х² = х² + 3
3х² = 3
х = 1
Получили СО = 1.
2. Рассмотрим ΔАОВ.
АО = ОВ = R
⇒ ΔАОВ - равнобедренный.
- Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
⇒ ∠АОВ = ◡АВ = 60°
АС = СВ (условие)
⇒ ОС - медиана.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
⇒ ОС - высота, биссектриса.
3. Рассмотрим ΔСОВ - прямоугольный.
∠СОВ = 60° : 2 = 30° (СО - биссектриса)
⇒ ОВ = 2 СВ
Пусть СВ = а, тогда ОВ = 2а
По теореме Пифагора:
ОВ² = ОС² + СВ²
4а² = 1 + а²
3а² = 1
Получили
4. Теперь можем найти объем конуса:
Объем конуса равен ед.³
