Question

СРОЧНО РЕШИТЬ
1. ∫xdx/x^2+2
2. ∫(верхний предел = 5, нижний =2) dx/1+√(x-1)

Answer 1

Ответ:

1. $\boxed{ \boldsymbol {\displaystyle \int {\dfrac{x\, dx}{x^{2} + 2} } = \frac{\ln|x^{2} + 2|}{2} +C }}$

2. $\boxed{\boldsymbol {\displaystyle \int\limits^{5}_{2} {\frac{dx}{1 + \sqrt{x - 1} } } = 2 + 2 \ln \dfrac{2}{3}}}$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x}= \ln |x| + C}$

$\boxed{ \displaystyle \int x^{n} \, dx= \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq - 1; x > 0 }$

Пошаговое объяснение:

1.

$\displaystyle \LARGE \int {\dfrac{x\, dx}{x^{2} + 2} } = \LARGE \int {\dfrac{\dfrac{1}{2} \, d(x^{2} )}{x^{2} + 2} } = \dfrac{1}{2} \LARGE \int \dfrac{\, d(x^{2} +2)}{x^{2} + 2} } = \frac{\ln|x^{2} + 2|}{2} +C$

2.

Замена: $\sqrt{x -1} = t; x - 1 = t^{2} \Longrightarrow x = t^{2} + 1$

$dx = d(t^{2}+1)\ dt$

$dx =2t \ dt$

Границы интегрирования:

a = 2

b = 5

$t_{1} = \sqrt{a - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$

$t_{2} = \sqrt{b - 1} =\sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$

$\displaystyle \int\limits^{5}_{2} {\frac{dx}{1 + \sqrt{x - 1} } } = \int\limits^{2}_{1} {\frac{2 t}{t + 1} } \, dt = 2\int\limits^{2}_{1} {\frac{ t}{t + 1} } \, dt =$

$\displaystyle = 2\int\limits^{5}_{2} {\frac{t + 1 -1}{t + 1} } \, dt = 2\int\limits^{2}_{1} \bigg({\frac{t + 1 }{t + 1} -\frac{1}{t + 1} } \bigg) \, dt = 2\int\limits^{2}_{1} \bigg({1 -\frac{1}{t + 1} } \bigg) \, d(t + 1) =$

$\displaystyle= 2 \bigg( \bigg (t - \ln|t + 1| \bigg) \bigg |_{1}^{2} \bigg) = 2 \bigg( \bigg (2 - \ln|2 + 1| \bigg) - \bigg ( 1 - \ln |1 + 1|\bigg) \bigg) =$

$= 2(2 - \ln 3 - (1 - \ln 2))= 2(2 - \ln 3 - 1+ \ln 2)) = 2(1 + \ln 2 - \ln 3) =$

$= 2 + 2 \ln \dfrac{2}{3}$