Question

2 несложные задачи по тригонометрии

Answer 1

Ответ:

$1) cos \alpha \cdot tg\alpha -2 sin\alpha=-sin\alpha$

$2) \dfrac{sin^{2} \alpha }{1+cos\alpha } \cdot \dfrac{1-cos^{2}\alpha }{1+cos\alpha }=(1-cos\alpha )^{2} .$

Пошаговое объяснение:

1) Упростим выражение

$cos \alpha \cdot tg\alpha -2 sin\alpha$

Воспользуемся формулой

$tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha }$

$cos \alpha \cdot tg\alpha -2 sin\alpha=cos \alpha \cdot \dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } -2 sin\alpha =\\\\= \dfrac{cos\alpha \cdot sin\alpha }{cos\alpha } -2sin\alpha =sin\alpha -2sin\alpha =-sin\alpha$

2) Упростим выражение

$\dfrac{sin^{2} \alpha }{1+cos\alpha } \cdot \dfrac{1-cos^{2}\alpha }{1+cos\alpha }$

Представим по основному тригонометрическому тождеству

$sin^{2} \alpha =1-cos^{2} \alpha$

и разложим на множители, применяя формулу сокращенного умножения

$a^{2} -b^{2} =(a-b)(a+b)$

$\dfrac{sin^{2} \alpha }{1+cos\alpha } \cdot \dfrac{1-cos^{2}\alpha }{1+cos\alpha }=\dfrac{1-cos^{2}\alpha }{1+cos\alpha } \cdot \dfrac{1-cos^{2}\alpha }{1+cos\alpha }=\\\\=\dfrac{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha ) }{1+cos\alpha } \cdot \dfrac{(1-cos\alpha)(1+cos\alpha ) }{1+cos\alpha }=\\\\=(1-cos\alpha )\cdot(1-cos\alpha )=(1-cos\alpha )^{2}$

Answer 2

Ответ:

$\displaystyle \tt \bold { 1) \; cos \alpha \cdot tg\alpha -2 \cdot sin\alpha =-sin\alpha}$

$\displaystyle \tt \bold { 2) \; \frac{sin^2\alpha }{1+cos\alpha } \cdot \frac{1-cos^2\alpha }{1+cos\alpha } }\bold {=(1-cos\alpha)^2 = 4 \cdot sin^4 \frac{\alpha}{2}}$

Пошаговое объяснение:

Известны тригонометрические тождества:

$\displaystyle \tt \bold { a) \; tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha } };\\\\\bold { b) \; sin^2\alpha =1-cos^2 \alpha };\\\\\bold { c) \; 1-cos^2 \alpha =(1-cos \alpha) \cdot (1+cos \alpha) ;}\\\\\bold { d) \; 2 \sin^2 \alpha =1-cos 2 \alpha.}$

Решение.

$\displaystyle \tt \bold { 1) \; cos \alpha \cdot tg\alpha -2 \cdot sin\alpha =cos \alpha \cdot \frac{sin\alpha}{cos\alpha} - 2 \cdot sin\alpha =sin\alpha- 2 \cdot sin\alpha =-sin\alpha.}$

$\displaystyle \tt \bold { 2) \; \frac{sin^2\alpha }{1+cos\alpha } \cdot \frac{1-cos^2\alpha }{1+cos\alpha } =\frac{1-cos^2\alpha }{1+cos\alpha } \cdot \frac{1-cos^2\alpha }{1+cos\alpha } = }\\\\\bold {=\frac{(1-cos\alpha) \cdot (1+cos\alpha)}{1+cos\alpha } \cdot \frac{(1-cos\alpha) \cdot (1+cos\alpha) }{1+cos\alpha } =}\\\\\bold {=(1-cos\alpha) \cdot (1-cos\alpha)=2 \cdot sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot 2 \cdot sin^2 \frac{\alpha}{2} } = 4 \cdot sin^4 \frac{\alpha}{2}.$