Question

Найти значение выражения ∛(7+√50) +∛(7-√50)

Answer 1

Обозначим искомое значение:

$A=\sqrt[3]{7+\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7-\sqrt{50} }$

Возведем обе части в куб, используя несколько преобразованную формулу куба суммы:

$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$

Получим:

$A^3=\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7-\sqrt{50} }\right)^3=\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\right)^3 +\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\right)^3+$

$+3\cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\cdot \sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\cdot\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}+\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\right)$

Заметим, что одна из скобок в точности соответствует искомому выражению $A$:

$A^3=\left(\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\right)^3 +\left(\sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\right)^3+3\cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\cdot \sqrt[3]{7-\sqrt{50}}\cdot A$

Выполняем остальные преобразования:

$A^3=7+\sqrt{50} +7-\sqrt{50}+3\cdot \sqrt[3]{\left(7+\sqrt{50}\right)\left(7-\sqrt{50}\right)}\cdot A$

$A^3=14+3\cdot \sqrt[3]{7^2-\left(\sqrt{50}\right)^2}\cdot A$

$A^3=14+3\cdot \sqrt[3]{49-50}\cdot A$

$A^3=14-3A$

Получившееся уравнение можно решить, например, рассмотрев пару функций $y(A)=A^3$ и $y(A)=14-3A$. Так как первая из них возрастает, а вторая - убывает, то записанное уравнение не может иметь больше одного корня. Этот корень легко угадывается: $A=2$.

Можно выполнить разложение на множители:

$A^3+3A-14=0$

$A^3-2A^2+2A^2-4A+7A-14=0$

$A^2(A-2)+2A(A-2)+7(A-2)=0$

$(A-2)(A^2+2A+7)=0$

$A-2=0\Rightarrow A=2$

$A^2+2A+7=0\Rightarrow D_1=1^2-1\cdot7 < 0\Rightarrow A\notin \mathbb{R}$

Вновь получаем тот же результат: $A=2$.

Значит:

$\sqrt[3]{7+\sqrt{50} } +\sqrt[3]{7-\sqrt{50} }=2$

Ответ: 2