Question

Найти полный дифференциал

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ du = (y^{2}z x^{y^{2}z - 1})dx + (2yx^{y^{2}z}z \ln x)dy + (y^{2}x^{y^{2}z} \ln x)dz} } }$

Примечание:

Для того, чтобы найти полный дифференциал нужно сначала его записать формальном в общем виде. И затем найти частные производные. При нахождении частных производных считаем, что дифференцируется только, та часть по которой находится производная, а остальные части функции принимаем за константы.

По таблице производных:

$\boxed{(x^{n})' = nx^{n - 1}}$

$\boxed{ (a^{x})' = a^{x} \ln a }$

$\boxed{( \ln x)' = \dfrac{1}{x}}$

Производная сложной функции:

$(f(g(x)))' = g'(x) f'(g(x))$

Пошаговое объяснение:

$u = x^{y^{2}z}$

Полный дифференциал функции в общем виде:

$\boxed {\boldsymbol{ \displaystyle du = \frac{ \partial u}{\partial x}\ dx + \frac{ \partial u}{\partial y}\ dy + \frac{ \partial u}{\partial x}\ dz } }$

Частные производные:

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial x} \bigg ( x^{y^{2}z} \bigg) = y^{2}z x^{y^{2}z - 1}$

$\displaystyle \frac{ \partial u}{\partial y} \bigg ( x^{y^{2}z} \bigg) =x^{y^{2}z} \cdot (y^{2}z)_{y}' \ln x = 2yzx^{y^{2}z }\ln x$

$\displaystyle \frac{ \partial z}{\partial y} \bigg (x^{y^{2}z} \bigg) = x^{y^{2}z} \ln x^{y^{2}} = y^{2}x^{y^{2}z} \ln x$

Полный дифференциал функции $\boldsymbol u$:

$\boldsymbol{ du = (y^{2}z x^{y^{2}z - 1})dx + (2yx^{y^{2}z}z \ln x)dy + (y^{2}x^{y^{2}z} \ln x)dz}$