Question

Помогите СРОЧНО
sina+sin3a+sin5a+sin7a/cosa-cos3a+cos5a-cos7a = ctga

Answer 1

Преобразуем выражение, используя следующие формулы:

$\sin{x}\pm\sin{y}=2\sin{\dfrac{x\pm y}{2}}\cos{\dfrac{x\mp y}{2}}\\\cos{x}+\cos{y}=2\cos{\dfrac{x+y}{2}}\cos{\dfrac{x-y}{2}}\\\cos{x}-\cos{y}=-2\sin{\dfrac{x+y}{2}}\sin{\dfrac{x-y}{2}}$

Преобразуем левую часть:

$\dfrac{\sin{a}+\sin{3a}+\sin{5a}+\sin{7a}}{\cos{a}-\cos{3a}+\cos{5a}-\cos{7a}}=\dfrac{(\sin{a}+\sin{7a})+(\sin{3a}+\sin{5a})}{(\cos{a}-\cos{7a})+(\cos{5a}-\cos{3a})}=\\=\dfrac{2\sin{4a}\cos{3a}+2\sin{4a}\cos{a}}{2\sin{4a}\sin{3a}-2\sin{4a}\sin{a}}=\dfrac{2\sin{4a}(\cos{3a}+\cos{a})}{2\sin{4a}(\sin{3a}-\sin{a})}=\dfrac{\cos{3a}+\cos{a}}{\sin{3a}-\sin{a}}=\\=\dfrac{2\cos{2a}\cos{a}}{2\sin{a}\cos{2a}}=\dfrac{\cos{a}}{\sin{a}}=ctg\ a$

Таким образом, данное выражение является тождеством.