Question

Трикутник зі сторонами 7 см, 15 см і 20 см обертається навколо більшої сторони. Знайдіть об'єм і площу поверхні утвореного при цьому тіла обертання.
Пожалуйста, нужна помощь!

Answer 1

Ответ:

Площадь полной поверхности тела вращения равна 290,136 см², объем тела вращения 369,264 см³.

Объяснение:

Треугольник со сторонами 7 см, 15 см и 20 см вращается вокруг большей стороны. Найдите объем и площадь поверхности образованного при этом тела вращения.

Дано: ΔАВС вращается вокруг стороны АС;

АВ = 7 см; ВС = 15 см; АС = 20 см.

Найти: S полной поверхности и объем тела вращения.

Решение:

При вращении треугольника получим тело, состоящее из двух конусов.

Конусы имеют общее основание - круг радиусом НВ.

У верхнего конуса образующая АВ = 7 см, у нижнего ВС = 15 см.

Точка Е симметрична точке В относительно прямой АС.

⇒ ВЕ ⊥ АС.

1. Найдем НВ.

Пусть АН = х см, тогда НС = (20 - х) см.

Рассмотрим ΔНАВ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ВН² = АВ² - АН²

ВН² = 49 - х²   (1)

Рассмотрим ΔНВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ВН² = СВ² - СН²

ВН² = 225 - (20 - х)² = 225 - 400 + 40х - х² = -х² + 40х - 175   (2)

Приравняем равенства (1) и (2):

49 - х² = -х² + 40х - 175

40х = 224

х = 5,6

⇒ АН = 5,6 см; НС = 20 - 5,6 = 14,4 (см)

Подставим значения х в равенство (1) и найдем ВН:

ВН² = 49 - 31,36

ВН² = 17,64

ВН = R = 4,2 (см)

2. Найдем площадь поверхности тела. Она состоит из площадей боковых поверхностей конусов.

Sбок. = S₁ + S₂

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed { S \;_{bok}=\pi RL}$ , где R - радиус основания, L - образующая.

S₁ = π · 4,2 · 7 = 29,4π (см²)

S₂ = π · 4,2 · 15 = 63π (см²)

S = 92,4π ≈ 290,136 (см²)

3. Найдем объем тела вращения.

V = V₁ + V₂

Объем конуса найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed {V=\frac{1}{3}\pi R^2h }$ , где R - радиус основания, h - высота.

$\displaystyle V_1=\frac{1}{3} \pi \cdot 4,2^2\cdot5,6=32,928\pi \;_{(CM^3)}\\\\V_2=\frac{1}{3} \pi \cdot4,2^2\cdot14,4=84,672\pi \;_{(CM^3)}\\\\V=32,928\pi+84,672\pi =117,6\pi \approx 369,264\;_{(CM^3)}$

Площадь полной поверхности тела вращения равна 290,136 см², объем тела вращения 369,264 см³.