Question

Вычислить значение каждой из тригонометрических функций если cos=-12/13 π<а<3π\2

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Нам дан:$\large \cos = - \frac{12}{13} ,\: \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\large \alpha \in$ lll-eй четверти.

Найти:$\large\sin \alpha ,\text{tg}\alpha ,\text{ctg}\alpha$

====================

====================

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀  Решение

• Применим основное тригонометрическое тождество, чтобы найти каждую функцию.

• Тождество для $\large\sin\alpha$(также для $\large\cos\alpha$):

$\large \boxed{ \sin {}^{2} \alpha + \cos {}^{2} \alpha = 1 }$

• Отсюда выразим $\large\sin\alpha$:

$\large \sin {}^{2} \alpha = 1 - \cos {}^{2} \alpha$

• Так как $\large\cos\alpha$ нам известен, мы с легкостью сможем найти $\large\sin\alpha$

$\large\sin {}^{2} \alpha = 1 - \underset{ \Large \frac{144}{169} }{\underbrace{( - \frac{12}{13} ) {}^{2} }}$

$\large\sin {}^{2} \alpha = 1 - \frac{144}{169} \: \: \Rightarrow \: \: \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$

• Мы нашли только $\large\sin{}^{2} \alpha$, а нам нужен $\large\sin\alpha$.

• Извлечем корень.

$\large\sin\alpha= \pm \sqrt{ \large\frac{25}{169} } = \boxed{\pm \bf \frac{5}{13} }$.

•Так как угол α по условию должен находиться в 3-й четверти, то выбираем отрицательное значение синуса:$\large -\frac{5}{13}$

• Идём дальше, тождество для $\large \text{tg}\alpha$

$\Large \boxed{\text{tg} \alpha = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } }$

• Sin и Cos нам известны, подставим и решим.

$\large \text{tg} \alpha = - \frac{5}{13} : ( - \frac{12}{13} ) \: \: \rightarrow \: \: - \frac{5}{ \not13} \cdot ( - \frac{ \not13}{12} ) = \boxed{ \bf \frac{5}{12} }$.

• tg нашли, остался ctg.

• Нам известно,что tg обратное ctg.Следовательно:

$\large \text{ctg}\alpha= \boxed { \bf \frac{12}{5} }$

Давайте ещё решим.

• Тождество для $\large \text{ctg}\alpha$

$\Large \boxed{\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1}$



• Отсюда выразим ctg.

$\large \text{ctg}\alpha = \frac{1}{ \text{tg}\alpha }$

• tg известен,подставим:

$\large\text{ctg}\alpha = 1 : \frac{5}{12} \: \: \Rightarrow \: \: 1 \cdot \frac{12}{5} = \boxed{ \bf \frac{12}{5} }$

Ответ: Sin α = - 5/13, tg α = 5/12, ctg = 12/5