ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!!
18. Знайти перший член арифметичноï прогресії, якщо а + 4 = 35 i a, +a = 65.
Ответы
Ответ:
Наприклад, послідовність (2); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)… є арифметичною прогресією, тому що кожен наступний елемент відрізняється від попереднього на три (може бути отриманий з попереднього додаванням трійки):
У цій прогресії різниця (d) позитивна (рівна (3)), і тому кожен наступний член більший за попередній. Такі прогресії називаються зростаючими.
Проте може бути і негативним числом. Наприклад, в арифметичній прогресії \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \ (-8 \) ... Різниця прогресії \ (d \) дорівнює мінус шести.
Наприклад, арифметична прогресія (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) складається з елементів \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \(a_3=8\) і таке інше.
Іншими словами, для прогресії (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)
Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (b_1 = 7; d = 4). Знайдіть \(b_5\).
Рішення:
Відповідь: \(b_5=23\)
Приклад (ОДЕ). Дано перші три члени арифметичної прогресії: \(62; 49; 36…\) Знайдіть значення першого негативного члена цієї прогресії.
Рішення:
Нам дано перші елементи послідовності та відомо, що вона – арифметична прогресія. Тобто, кожен елемент відрізняється від сусіднього на те саме число. Дізнаємось на яке, віднімаючи з наступного елемента попередній: \(d=49-62=-13\).
Тепер ми можемо відновити нашу прогресію до потрібного (першого негативного) елемента.
Готово. Можна написати відповідь.
Відповідь: \(-3\)
Приклад (ОДЕ). Дані кілька елементів арифметичної прогресії, що йдуть поспіль: \(…5; x; 10; 12,5...\) Знайдіть значення елемента, позначеного буквою \(x\).
Рішення:
Щоб знайти \(x\), нам потрібно знати, наскільки наступний елемент відрізняється від попереднього, інакше кажучи – різниця прогресії. Знайдемо її із двох відомих сусідніх елементів: \(d=12,5-10=2,5\).
Нині ж без проблем знаходимо шукане: \(x=5+2,5=7,5\).
Готово. Можна написати відповідь.
Відповідь: \(7,5\).
Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана такими умовами: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Знайдіть суму перших шести членів цієї прогресії.
Рішення:
Нам слід знайти суму перших шести членів прогресії. Але ми не знаємо їхніх значень, нам дано лише перший елемент. Тому спочатку обчислюємо значення по черзі, використовуючи це нам :
\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\ (n = 2 \); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n = 3 \); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
А обчисливши потрібні нам шість елементів – знаходимо їхню суму.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)
Шукану суму знайдено.
Відповідь: \ (S_6 = 9 \).
Приклад (ОДЕ). В арифметичній прогресії \(a_(12)=23\); \ (a_ (16) = 51 \). Знайдіть різницю цієї прогресії.
Рішення:
Відповідь: \ (d = 7 \).
Важливі формули арифметичної прогресії
Як бачите, багато завдань з арифметичної прогресії можна вирішувати, просто зрозумівши головне – те, що арифметична прогресія є ланцюжок чисел, і кожен наступний елемент у цьому ланцюжку виходить додаванням до попереднього одного і того ж числа (різниці прогресії).
Однак іноді зустрічаються ситуації, коли вирішувати «в лоб» дуже незручно. Наприклад, уявіть, що в першому прикладі нам потрібно знайти не п'ятий елемент \(b_5\), а триста вісімдесят шостий \(b_(386)\). Це що ж, нам (385) раз додавати четвірку? Або уявіть, що у передостанньому прикладі треба знайти суму перших сімдесяти трьох елементів. Вважати замучишся ...
Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\), де \(a_1\) – перший член прогресії;
\ (n \) - Номер шуканого елемента;
\(a_n\) - член прогресії з номером \(n\).
Ця формула дозволяє нам швидко знайти хоч триста, хоч мільйонний елемент, знаючи лише перший і різницю прогресії.
приклад. Арифметична прогресія задана умовами: (b_1=-159); \ (d = 8,2 \). Знайдіть \(b_(246)\).
Рішення:
Відповідь: \ (b_ (246) = 1850).
Формула суми n перших членів: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), де
\(a_n\) – останній сумований член;
Приклад (ОДЕ). Арифметична прогресія задана умовами (a_n=3,4n-0,6\). Знайдіть суму перших (25) членів цієї прогресії.
Рішення:
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)
Щоб обчислити суму перших двадцяти п'яти елементів, нам потрібно знати значення першого та двадцять п'ятого члена.
Наша прогресія задана формулою енного члена в залежності від його номера (детальніше дивись). Давайте обчислимо перший елемент, підставивши замість (n) одиницю.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)
\(n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 · 25-0,6 = 84,4 \)
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)
Відповідь готова.
Відповідь: \ (S_ (25) = 1090 \).
Для суми перших членів можна отримати ще одну формулу: потрібно просто в(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\ ) замість \(a_n\) підставити формулу для нього \(a_n=a_1+(n-1)d\). Отримаємо:
Формула суми n перших членів: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), де
\(S_n\) – шукана сума \(n\) перших елементів;
\(a_1\) – перший сумований член;
(d) - різниця прогресії;
\(n\) – кількість елементів у сумі.
приклад. Знайдіть суму перших (33) членів арифметичної прогресії: (17); \(15,5\); \(14\)…
Рішення:
Відповідь: \(S_(33)=-231\
Объяснение: