Question

В трапеции ABCD с основаниями AD =13 и BC = 7 точка K – середина BD, а луч AK – биссектриса угла CAD. Найдите длину диагонали AC.

Answer 1

Ответ:

6

Пошаговое объяснение:

Обозначения на рисунке, E-точка пересечения диагоналей.

Теорема синусов для треугольника AKD:

$\frac{13}{\sin(\pi -\gamma)} = \frac{KD}{\sin\alpha }$

$\frac{13}{\sin\gamma} = \frac{KD}{\sin\alpha }\\KD\sin\gamma=13\sin\alpha$

Теорема синусов для треугольника ABK:

$\frac{BK}{\sin(\alpha +\beta)} = \frac{AB}{\sin \gamma}\\\frac{KD}{\sin(\alpha +\beta)} = \frac{AB}{\sin \gamma}\\KD\sin\gamma=AB\sin(\alpha +\beta )$

Из двух полученных уравнений заключаем, что

$13\sin\alpha = AB \sin(\alpha +\beta )$

$AB=\frac{13\sin\alpha }{\sin(\alpha +\beta )}$  Далее мы будем подставлять вместо AB правую часть!

Угол BCA равен $2\alpha$.

Теорема синусов для треугольника BCA:

$\frac{AB}{\sin2\alpha }=\frac{7}{\sin\beta }$

Подставляем AB и используем то, что $\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos\alpha$. Получаем:

$13\sin\beta =14\cos\alpha \sin(\alpha +\beta )\\13\sin\beta =14\cos\alpha (\cos\alpha \sin\beta +\sin\alpha \cos\beta ) )\\13\sin\beta =14(\cos^2\alpha \sin\beta +\cos\alpha \sin\alpha \cos\beta ) \\13\sin\beta =14(\frac{\cos2\alpha +1}{2} \sin\beta +\frac{\sin2\alpha }{2} \cos\beta ) \\6\sin\beta =7(\sin\beta \cos2\alpha+\cos\beta \sin2\alpha )\\ 6\sin\beta=7\sin(2\alpha +\beta )\\\frac{\sin(2\alpha +\beta )}{\sin\beta} = \frac{6}{7}$

Снова теорема синусов для треугольника BCA:

$\frac{7}{\sin\beta}=\frac{AC}{\sin(\pi -(2\alpha +\beta) )}\\\frac{7}{\sin\beta}=\frac{AC}{\sin(2\alpha +\beta )}\\AC=7 \frac{\sin(2\alpha +\beta )}{\sin\beta}=7 \cdot \frac{6}{7}=6$

Таким образом, мы получили ответ.