Question

Найти приближённое значение функции √(1,98&4,03)

Answer 1

Ответ:

$4.03^{1.98}\approx 2.02$

Пошаговое объяснение:

Используем для приближения дифференциал функции 2 переменных.  Верно приближенное равенство:

$f(x_0+\Delta x; y_0+\Delta y)\approx f(x_0;y_0)+f'_x(x_0;y_0)\Delta x+f'_y(x_0;y_0)\Delta y$

Для данной задачи удобно взять

$f(x,y)=x^{\frac{1}{y}}, x_0=4, \Delta x=0.03, y_0=2,\Delta y=-0.02$

Вычислим частные производные функции $f(x)$:

$f'_x(x,y)=\dfrac{1}{y}\cdot x^{\frac{1}{y}-1};\;\:\;\:f'_y(x,y)=\ln x\cdot x^{\frac{1}{y}}\cdot \left(-\dfrac{1}{y^2}\right)$

Тогда приближенное равенство примет вид:

$f(x_0+\Delta x; y_0+\Delta y)\approx 4^{1/2}+\dfrac{1}{2}\cdot 4^{\frac{1}{2}-1}\cdot 0.03+\ln 4\cdot 4^{\frac{1}{2}}\cdot \left(-\dfrac{1}{2^2}\right)\cdot (-0.02)=\\ =2+\dfrac{1}{4}\cdot 0.03+\ln 4\cdot 0.01=2.0075+2\ln 2\cdot 0.01\approx(*)$

Аналогично приблизим $2\ln(2)$ при помощи дифференциала функции одной переменной:

$g(x_0+\Delta x)\approx g(x_0)+g'(x_0)\Delta x$

Возьмем

$g(x)=x\ln x,x_0=e,\Delta x=2-e$

Вычислим производную функции $g(x)$:

$g'(x)=\ln x+1$

Тогда

$2\ln2\approx e\ln e+(\ln e+1)\cdot (2-e)=e+2\cdot (2-e)=4-e$

Отсюда приближенное равенство примет вид

$(*)\approx2.0075+(4-e)\cdot 0.01=2.0475-0.01e\approx 2.0475-0.0272=2.0203\approx 2.02$