Question

Дан треугольник ABC, биссектрисы которого пересекаются в точке I. Точки D, E, F − середины сторон BC, AC, AB соответственно. P − точка пересечения прямых BI и DE, Q − точка пересечения прямых CI и DF. Прямая PQ пересекает стороны AB и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что треугольник AKL − равнобедренный.

Answer 1

Ответ: ч.т.д.

Объяснение:

1) $DF \parallel AC$ (как средняя линия), следовательно $\angle DQC=\angle ACQ$ как накрест лежащие, значит $\angle DQC= \angle DCQ$ и $\triangle DCQ$ - равнобедренный, $DC=DQ$

2) $DE\parallel AB$ (как средняя линия), следовательно $\angle ABP=\angle BPD$ как накрест лежащие, значит $\angle DPB=\angle DBP$ и $\triangle BDP$ - равнобедренный, $DB=DP$

3) $DB=DQ=DP=DC$, значит около $BCPQ$ можно описать окружность с центром в точке $D$

4) $\angle QPB=\angle QCB$, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

5) $\angle PQC=\angle PBC$, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

6) $\angle AKL=\angle KBP+\angle KPB$ (как внешний угол $\triangle BKP$)

7) $\angle ALK=\angle LQC+\angle LCQ$ (как внешний угол $\triangle LCQ$)

8) $\angle AKL=\angle KBP+\angle KPB=\angle LQC+\angle LCQ=\angle ALK$, следовательно $\triangle ALK$ - равнобедренный, поскольку у него равны углы при основании $LK$